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수악중독
\(1\) 보다 큰 양수 \(a\) 에 대하여 두 곡선 \(y=a^{-x-2}\) 과 \(y=\log_a (x-2)\) 가 직선 \(y=1\) 과 만나는 두 점을 각각 \(\rm A, \;B\) 라 하자. \(\overline {\rm AB}=8\) 일 때, \(a\) 의 값은? ① \(2\) ② \(4\) ③ \(6\) ④ \(8\) ⑤ \(10\) 정답 ②
곡선 \(y=2^x-1\) 위의 점 \({\rm A}(2, \;3)\) 을 지나고 기울기가 \(-1\) 인 직선이 곡선 \(y=\log_2 (x+1)\) 과 만나는 점을 \(\rm B\) 라 하자. 두 점 \(\rm A, \; B\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm C,\;D\) 라 할 때, 사각형 \(\rm ABCD\) 의 넓이는? ① \(\dfrac{5}{2}\) ② \(\dfrac{11}{4}\) ③ \(3\) ④ \(\dfrac{13}{4}\) ⑤ \(\dfrac{7}{2}\) 정답 ①
좌표평면에서 자연수 \(n\) 에 대하여 영역 \( \{ (x, \;y) \;|\; 2^x-n \leq y \leq \log_2 (x+n) \}\) 에 속하는 점 중 다음 조건을 만족시키는 점의 개수를 \(a_n\) 이라 하자. (가) \(x\) 좌표와 \(y\) 좌표는 서로 같다. (나) \(x\) 좌표와 \(y\) 좌표는 모두 정수이다. 예를 들어, \(a_1 =2, \; a_2=4\) 이다. \(\sum \limits_{n=1}^{30} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(573\)
자연수 \(n\) 에 대하여 \(1\) 부터 \(6n\) 까지의 자연수의 총합을 \(A_n\), \(1\) 부터 \(6n\) 까지의 자연수 중에서 \(3\) 의 배수를 제외한 자연수의 총합을 \(B_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{A_n}{B_n}=\dfrac{q}{p}\) 이다. 이때, 서로소인 자연수 \(p,\;q\) 의 합 \(p+q\) 의 값을 구하시오. 정답 \(5\)
수열 \(\{a_n\}\) 을 다음과 같이 정의한다. (가) \(a_1=2\)(나) \(a+_{n+1}= \left ( a_n ^2 +a_n 을 \; 5로 \; 나눈 \; 나머지 \right )\) \((n=1,\;2,\;3,\cdots)\) \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_n}{3^n}= \dfrac{q}{p}\) 일 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오.(단, \(p,\;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(15\)
두 무한수열 \(\{a_n\},\;\{b_n\}\) 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 수열 \(\{a_n\}\) 에서 \(a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\) 일 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 은 발산한다. ㄴ. 두 수열 \(\{a_n\},\;\{b_n\}\) 이 각각 수렴하면 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_nb_n=\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n \sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n\) 이다. ㄷ. 수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_1=1,\; a_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}a_n\;(n=1, \;2,\;3,\;\cdots )\)..
무한등비수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 옳은 것만을 에서 모두 고른 것은? ㄱ. 무한등비급수\(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 이 수렴하면 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{2n}\) 도 수렴한다.ㄴ. 무한등비급수 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 이 발산하면 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty}a_{2n}\) 도 발산한다.ㄷ. 무한등비급수 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 이 수렴하면 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left ( a_n +\dfrac{1}{2} \right ) \) 도 수렴한다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ..
수렴하는 수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 무한급수 \[\left ( a_1 - \dfrac{2}{1^2} \right ) + \left ( a_2 - \dfrac{2+4}{3^2} \right ) + \cdots + \left \{ a_n - \dfrac{2+4+6+\cdots+2n}{(2n-1)^2} \right \} + \cdots\] 이 수렴할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n\) 의 값은? ① \(0\) ② \(\dfrac{1}{6}\) ③ \(\dfrac{1}{4}\) ④ \(\dfrac{1}{2}\) ⑤ \(1\) 정답 ③
\(a_1=16\) 인 무한등비수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(\sum \limits_{k=1}^n a_k =S_n\) 이라 하자. \(\sum \limits_{n=1}^\infty a_n\) 이 발산할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{(S_{n+1})^2-(S_n)^2}{S_n}=\alpha\) 이다.\(\alpha+S_{10}\) 의 값을 구하시오. (단, \(\alpha\) 는 상수이다.) 정답 \(192\)
아래 그림과 같은 구 모양의 지구본이 있다. 구의 중심을 \(\rm O\), 적도 상에 있는 동경 \(120^{\rm o}\) 인 지점을 \(\rm A\) 라 하고, 동경 \(150^{\rm o}\), 북위 \(30^{\rm o}\) 인 지점을 \(\rm B\) 라 하자. \(\angle \rm AOB\) 의 크기를 \(\omega\) 라 할 때, \(\cos \omega\) 의 값은?① \(\dfrac{1}{4}\) ② \(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) ③ \(\dfrac{1}{2}\) ④ \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\) ⑤ \(\dfrac{3}{4}\) 정답 ⑤