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수악중독
함수 \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{x + 1}&{\left( {x \le 0} \right)}\\{ - \dfrac{1}{2}x + 7}&{\left( {x > 0} \right)}\end{array}} \right.\] 에 대하여 함수 \(f(x)f(x-a)\) 가 \(x=a\) 에서 연속이 되도록 하는 모든 실수 \(a\) 의 값의 합을 구하시오. 정답 \(13\)
두 수열 \(\{a_n\},\; \{b_n\}\) 에 대하여 \[ a_n+b_n=2+\dfrac{1}{n}\;\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\] 일 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(\lim \limits_{n \to \infty}(a_n+b_n)=2\) ㄴ. 수열 \(\{a_n\}\) 이 수렴하면 수열 \(\{b_n\}\) 도 수렴한다. ㄷ. \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 이 수렴하면 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n\) 도 수렴한다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②
등비수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(a_1 + 3a_2=0,\;\; a_1+a_2+a_3=28\) 일 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(27\)
\(a_1=1,\; 2a_{n+1}+a_n=2\;(단, \;n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\) 를 만족시키는 수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 에서 옳은 것을 모두 고르면? ㄱ. 수열 \(\left \{ a_n -\dfrac{2}{3} \right \}\) 는 공비가 \(-\dfrac{1}{2}\) 인 등비수열이다. ㄴ. \(\lim \limits_{n \to \infty}a_n\) 은 수렴한다. ㄷ. \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 은 수렴한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
무한수열 \(\{a_n\}\) 을 \[{a_n} = \left\{ {\begin{array}{ll}0\\1\\2\end{array}}\right.\;\;\;\;\begin{array}{ll}{\left( {n = 3k - 2} \right)}\\{\left( {n = 3k - 1} \right)}\\ {\left( {n = 3k} \right)}\end{array}\;\; (단, \; k는 \; 자연수)\]로 정의할 때 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_n}{4^n}\) 의 값은? ① \(\dfrac{3}{4}\) ② \(\dfrac{2}{21}\) ③ \(\dfrac{13}{32}\) ④ \(\dfrac{17}{54}\) ⑤ \(\dfrac{29}{63}\) 정답 ②
\(2\) 보다 큰 자연수 \(n\) 에 대하여 \((-3)^{n-1}\) 의 \(n\) 제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=3}^{\infty} \dfrac{a_n}{2^n}\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{6}\) ② \(\dfrac{1}{4}\) ③ \(\dfrac{1}{3}\) ④ \(\dfrac{5}{12}\) ⑤ \(\dfrac{1}{2}\) 정답 ① 실근의 개수가 왜 0, 1이 되는지 모르시는 분들은 거듭제곱근 개념을 다시 공부하셔야 합니다.
그림과 같이 반지름의 길이가 \(3\) 이고 \(\angle \rm AOB = \dfrac{\pi}{3}\) 인 부채꼴 \(\rm AOB\) 에 내접하는 원을 \(\rm O'\) 이라 하자. 호 \(\rm AB\) 위의 한 점 \(\rm C\) 에 대하여 \(\angle \rm COB=\theta \; \left ( 0 < \theta < \dfrac{\pi}{3} \right )\) 일 때, 원 \(\rm O'\) 과 \(\overline{\rm OC}\) 가 만나는 두 점을 \(\rm P,\;Q\) 라 하고, 부채꼴 \(\rm COB\) 의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 하자. \(\lim \limits_{\theta \to 0} \dfrac{\overline{\rm PQ}^2}{S(\theta..
다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 부등식 \[\sum \limits_{i=1}^{2n+1} \dfrac{1}{n+i} = \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+ \cdots + \dfrac{1}{3n+1}>1\] 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. 자연수\(n\) 에 대하여 \(a_n = \dfrac{1}{n+1}+ \dfrac{1}{n+2} + \cdots + \dfrac{1}{3n+1}\) 이라 할 때, \(a_n >1\) 임을 보이면 된다. (1) \(n=1\) 일 때, \(a_1=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{4}>1\) 이다. (2) \(n=k\) 일 때, \(a_k >1\) 이라고 가정하면, \(n=k+1\) 일 때 \(\beg..
자연수 \(n\) 에 대하여 두 점 \({\rm P}_{n-1}, \; {\rm P}_n\) 이 함수 \(y=x^2\) 의 그래프 위의 점일 떄, 점 \({\rm P}_{n+1}\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 두 점 \({\rm P}_0, \; \rm P_1\) 의 좌표는 각각 \((0, \;0),\;(1, \;1)\) 이다. (나) 점 \({\rm P}_{n+1}\) 은 점 \({\rm P}_n\) 을 지나고 직선 \({\rm P}_{n-1} {\rm P}_n\) 에 수직인 직선과 함수 \(y=x^2\) 의 그래프의 교점이다. (단, \({\rm P}_n\) 과 \({\rm P}_{n+1}\) 은 서로 다른 점이다.) \(l_n = \overline{{\rm P}_{n-1} {\rm P}_n..