사인법칙과 코사인법칙_난이도 중 (2026년 6월 고2 18번)

 

 

그림과 같이 두 원 $C_1$, $C_2$가 서로 다른 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$에서 만나고, 직선 $l$이 이 두 원과 동시에 접한다. 직선 $l$과 두 원 $C_1$, $C_2$의 접점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 할 때, $\angle \mathrm{QAB} = \theta_1$, $\angle \mathrm{QBA} = \theta_2$라 하자.

 

 

다음은 $\overline{\mathrm{AB}}=2$, $\sin\theta_1 : \sin\theta_2 = \sqrt{3} : \sqrt{2}$이고, 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 외접원의 반지름의 길이가 $\dfrac{3\sqrt{3}}{5}$일 때, 선분 $\mathrm{QA}$의 길이를 구하는 과정이다. (단, $\angle \mathrm{APB} \le \angle \mathrm{AQB}$)

 

원의 성질에 의하여  $\angle \mathrm{APQ} = \angle \mathrm{QAB}$, $\angle \mathrm{BPQ} = \angle \mathrm{QBA}$ 이므로 $\angle \mathrm{APB} = \theta_1 + \theta_2$이다. $\angle \mathrm{AQB} = \pi - (\theta_1 + \theta_2)$ 이고 $\angle \mathrm{APB} < \angle \mathrm{AQB}$이므로 $\theta_1 + \theta_2 < \frac{\pi}{2}$이다.  
$\overline{\mathrm{AB}} = 2$이고 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 접점원의 반지름의 길이가 $\frac{3\sqrt{3}}{5}$이므로 삼각형 $\mathrm{PAB}$ 에서 사인법칙에 의하여  $$\sin(\theta_1 + \theta_2) = \boxed{\text{ (가) }}$$이다.  
$\sin\theta_1 : \sin\theta_2 = \sqrt{3} : \sqrt{2}$이므로 삼각형 $\mathrm{QAB}$에서 사인법칙에 의하여 $$\overline{\mathrm{QB}} = \boxed{\text{ (나) }} \times \overline{\mathrm{QA}}$$이다.  
$\angle \mathrm{AQB} = \pi - (\theta_1 + \theta_2)$, $\overline{\mathrm{AB}}=2$이므로 삼각형 $\mathrm{QAB}$에서 코사인법칙에 의하여 $$\overline{\mathrm{QA}} = \boxed{\text{ (다) }}$$이다.

 

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p$, $q$, $r$이라 할 때, $p \times q \times r^2$의 값은? 

① $\dfrac{20 \sqrt{2}}{19}$          ② $\dfrac{21 \sqrt{2}}{19}$          ③ $\dfrac{22 \sqrt{2}}{19}$          ④ $\dfrac{23\sqrt{2}}{19}$          ⑤ $\dfrac{24\sqrt{2}}{19}$

정답 ①