수악중독

두 다항함수 $f(x)$와 $g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) > g(x)$를 만족시키고, $f(1) = g(1) + 1$이다. 양수 $t$에 대하여 두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$와 두 직선 $x=0$, $x=t$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S(t)$라 할 때, $$S'(t)=t^2-2t+a$$이다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $a$는 상수이다.) ㄱ. $a=1$ ㄴ. $S(3)=6$ ㄷ. 두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$와 두 직선 $x=-2$, $x=2$로 둘러싸인 도형의 넓이는 $S(4)$의 값과 같다. ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ 더보기정답 ⑤

그림과 같이 $1$보다 큰 실수 $b$에 대하여 두 함수 $f(x)=b^x$과 $g(x)=-\log_b x$의 그래프가 제$1$사분면에서 만나는 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $(\alpha, \; \beta)$라 하자. 다음은 $\alpha \beta^3 = 1$일 때, 직선 $\mathrm{OP}$의 기울기 $m$에 대하여 $g(m)$의 값을 구하는 과정이다. (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}(\alpha, \; \beta)$는 두 곡선 $$y=f(x), \quad y=g(x)$$ 위의 점이므로, 두 양수 $\alpha$, $\beta$가 $$\beta = b^{\alpha}, \quad \beta = -\log_b \alpha$$ 를 만..

앞면에 숫자 $1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6$이 하나씩 적혀 있는 카드 $6$장이 있다. 각 카드의 뒷면에는 앞면에 적힌 숫자와 같은 숫자가 적혀 있다. 이 $6$장의 카드가 다음과 같이 놓여 있다. 숫자 $1, \; 6$이 적힌 카드는 뒷면이 보이도록 놓여 있고, 숫자 $2, \; 3, \; 4, \; 5$가 적힌 카드는 앞면이 보이도록 놓여 있다. 이 $6$장의 카드와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$일 때,$k$가 홀수이면 $k$ 이하의 수가 적힌 카드를 모두 한 번씩 뒤집고,$k$가 짝수이면 $k$ 이상의 수가 적힌 카드를 모두 한 번씩 뒤집는다. 이 시행을 $4$번 반복한 후 $6$장의 카드가 모두 앞면이 보이..

좌표평면에서 양수 $t$에 대하여 직선 $y=t$가 두 곡선 $y=e^{2x}-e^{-x}+1$, $y=e^{2x}$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 하자. 점 $\mathrm{P}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y=e^{2x}$과 만나는 점의 $y$좌표를 $f(t)$, 점 $\mathrm{Q}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y=e^{2x}-e^{-x}+1$과 만나는 점의 $y$좌표를 $g(t)$라 할 때, 두 함수 $f(t)$, $g(t)$는 구간 $(0,\; \infty)$에서 미분가능한 함수이다. $\lim \limits_{t \to 1} \dfrac{9f'(t)-4g'(t)}{t-1}$의 값은? ① $1$ ② $3$ ..

두 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0)$, $\mathrm{F}'(-c, \; 0)$ ($c>0$)인 타원 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$이 있다. 이 타원 위에 있는 제$1$사분면 위의 점 $\mathrm{P}$와 이 타원 위에 있는 제$4$사분면 위의 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 점 $\mathrm{F}$가 선분 $\mathrm{PQ}$ 위에 있고 $$\dfrac{\overline{\mathrm{PF}}}{\overline{\mathrm{QF}}}=\dfrac{1}{2}, \quad \dfrac{\overline{\mathrm{PF}}}{\overline{\mathrm{FF'}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{16}$$이다. 삼각형 $\mathrm..