지수함수와로그함수의 그래프_난이도 중 (2026년 6월 고3 20번)

 

 

그림과 같이 $1$보다 큰 실수 $b$에 대하여 두 함수 $f(x)=b^x$과 $g(x)=-\log_b x$의 그래프가 제$1$사분면에서 만나는 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $(\alpha, \; \beta)$라 하자.

 

다음은 $\alpha \beta^3 = 1$일 때, 직선 $\mathrm{OP}$의 기울기 $m$에 대하여 $g(m)$의 값을 구하는 과정이다. (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.)

 

제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}(\alpha, \; \beta)$는 두 곡선 $$y=f(x), \quad y=g(x)$$ 위의 점이므로, 두 양수 $\alpha$, $\beta$가 $$\beta = b^{\alpha}, \quad \beta = -\log_b \alpha$$ 를 만족시킨다.
$\alpha \beta^3 = 1$이고 $\alpha = \log_b \beta$, $\beta = -\log_b \alpha$이므로 $$3\alpha - \beta = 3\log_b \beta + \log_b \alpha = \log_b (\alpha \beta^3) = 0$$ 이다. 그러므로 $m = \dfrac{\beta}{\alpha} = \boxed{\text{ (가) }}$이다.
$\beta^4 = m \alpha \beta^3 = m$이므로 $\beta = \boxed{\text{ (나) }}$이다.
$b = \alpha^{-\frac{1}{\beta}}$이고 $\alpha = \dfrac{\beta}{m}$ 이므로 $$g(m) = -\log_b m = \dfrac{\beta}{\log_m \alpha} = \dfrac{\beta}{-1 + \log_m \beta} = \boxed{\text{ (다) }}$$이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p$, $q$, $r$이라 할 때, $(p \times q \times r)^2$의 값을 구하시오. 

 

정답 $48$