미분가능성&역함수의 미분법_난이도 상 (2026년 5월 고3 미적분 30번)

 

 

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 역함수 $g(x)$를 갖는다. 함수 $h(x)$가 모든 실수에 대하여 $$g(x)h(x)=x \ln(1+3|g(x)|)$$이고 세 함수 $f(x), g(x), h(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(3)$의 값을 구하시오. 

 

(가) $g(k)=0$인 상수 $k$에 대하여 함수 $h(x)-|g(x)|$는 $x=k$에서 미분가능하다.

(나) $4g'(f(1))=3f(1)-4$

 

정답 $31$