여러 가지 함수의 미분법 & 함수의 연속과 불연속 & 역함수_난이도 상 (2025년 11월 수능 미적분 30번)

 

 

실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수 $f(x)$의 역함수 $f^{-1}(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.  

 

(가) $|x| \le 1$일 때, $4 \times \left( f^{-1}(x) \right)^{2} = x^{2} (x^{2} - 5)^{3}$이다.  
(나) $|x| > 1$일 때, $\left| f^{-1}(x) \right| = e^{|x|-1} + 1$이다.  

 

실수 $m$에 대하여 기울기가 $m$이고 점 $(1, 0)$을 지나는 직선이 곡선 $y = f(x)$와 만나는 점의 개수를 $g(m)$이라 하자. 함수 $g(m)$이 $m = a$, $m = b$ ($a < b$)에서 불연속일 때, $g(a) \times \left ( \lim \limits_{m \to a+} g(m) \right ) + g(b) \times \left (\dfrac{\ln b}{b} \right )^2$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$)

 

정답 $11$