함수 $f(x) = ax^3 - 2ax^2 + bx - b - 2$ 가 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 정수 $a \; (a \neq 0), \; b$에 대하여 $h'\left (-\sqrt{2} \right )$의 최댓값이 $\dfrac{k}{\pi}$일 때, $k^2$의 값을 구하시오.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $$g(x)=\begin{cases}f(x) + 2 & (x < 0 \text{ 또는 } x > 2) \\ -2 \cos \left( \dfrac{\pi}{4} f(x) \right) & (0 \le x \le 2)\end{cases}$$ 는 역함수 $h(x)$를 갖는다.
