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수악중독

blog api 를 이용하여 실제로 수식이 포함된 글을 올려보니... 본문

수능 수학

blog api 를 이용하여 실제로 수식이 포함된 글을 올려보니...

수악중독 2007.10.16 20:25





를 구간 의 임의의 두 점이라고 평균값의 정리를 적용시켜보면

   

가 된다. 이 때, 우변에서 이므로 우변의 부호는 에 의해서 결정된다. 따라서

구간 에서 이면 (즉, 는 증가 상태)

구간 에서 이면 (즉, 는 감소 상태)

가 성립하게 된다.

위의 두 가지 경우 모두 이면 , 즉 함수 가 1:1대응인 경우에 해당한다.

도함수의 부호로부터 다른 정보도 얻을 수 있다.

아래 그림에서 볼 수 있듯이, 어느 구간에서 함수가 증가하고, 감소하는지 또한 어떤 점에서

수평 접선을 갖게 되는지도 알 수 있다. 또한, 수평 접선을 갖는 점에서는 극대(local maximum),

극소(local minimum)를 갖는 다는 것을 알 수 있다.

이러한 정보를 알고 있다면 그래프를 그리는 데 유용한 정보로 활용될 수 있다.



그러나 수평 접선을 갖는 점에서만 극대 극소를 갖는 것은 아니다. 아래 그림들에서 처럼

극대, 극소를 갖지만 수평 접선을 갖지 않는 점들도 있고, 수평 접선을 갖지만 극대, 극소가

아닌 점들도 있다. 따라서 극대, 극소가 되는 점에서는 이 되고 이 점의 좌우에서

의 부호가 바뀌는 것을 확인해야 한다.




위의 그래프 중 오른쪽 의 그래프를 주의 깊게 볼 필요가 있다.

이 그래프는 모든 구간에서 증가하고 있으나, 그 증가하는 모양이 에서

사뭇 다르게 나타나고 있다. 소위 말해서 에서는 위로 볼록한 모양(concave down)하고

있으며, 에서는 아래로 볼록한 모양(concave up)을 하고 있다.




이렇게 위로 볼록한 구간과 아래로 볼록한 구간을 구분할 때, 반드시 위로 볼록에서 아래로 볼록으로

바뀌는 점이 발생하게 되는데 이러한 점을 변곡점(inflection point)라고 부른다. 따라서 변곡점에서는

이 된다. 그러나 항상 이것이 성립하는 것은 아니다. 경우에 따라서는 임에도 불구하고 그 점이 변곡점이

아닐 수도 있으며, 이 존재하지 않음에도 불구하고 그 점이 변곡점이 될 수도 있다. 아래의 그림들을 참조하라.



의 경우 에서 임에도 불구하고 에서 변곡점을 갖지 않으며, 의 경우 에서

이 존재하지 않음에도 불구하고 에서 변곡점을 갖는다.


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뭐야 수식과 원래 글자크기가 잘 맞아 떨어지지 않으며, 게다가 줄도 맞지 않는다.
아~~ 좋다 말았다.
역시 수식을 올리는 것은 쉬운 일이 아니구나...






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