수악중독

접선의 방정식 롤의 정리 (Rolle's Theorem) 함수 $f(x)$ 가 닫힌 구간 $[a, \; b]$ 에서 연속이고 열린 구간 $(a, \; b)$ 에서 미분가능할 때, $ f(a)=f(b)$ 이면 $f'(c)=0$ 인 $c$ 가 열린 구간 $(a, \; b)$ 안에 적어도 하나 존재한다. (1) 함수 $f(x)$ 가 상수함수인 경우 $f(x)=k$ ($k$ 는 상수) 이면 $f'(x)=0$ 이다. 따라서 열린 구간 $(a, \; b)$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대하여 $f'(x)=0$ 이고, 이는 곧 $f'(c)=0$ 인 $c$ 가 열린 구간 $(a, \; b)$ 에 반드시 존재함을 의미한다. (2) 함수 $f(x)$ 가 상수함수가 아닌 경우 이 경우 함수 $f(x)$ 는 최대최소의 정리로부..

그림과 같이 두 삼차함수 $f(x), \; g(x)$ 의 도함수 $y=f'(x), \; y=g'(x)$ 의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점의 $x$ 좌표는 $a, \;b\; (0

함수 $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f'(0)=1$ㄴ. 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \ge -\dfrac{1}{2}$ 이다.ㄷ. $0

함수 \(f(x) = \dfrac{1}{3} x^3 -x^2 +2x\;\;(0 \le x \le 2)\) 에 대하여 \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=m\) 이라 할 때, \(m\) 의 값의 범위를 구하여라. (단, \(0 \le a< b \le 2\) ) 정답 \( 1 \le m < 2\)

구간 \( (-\infty, \; \infty)\) 에서 미분 가능한 함수 \(f(x)\) 가 \(\lim \limits_{x \to \infty} f'(x) =2\) 를 만족할 때, \(\lim \limits_{x \to \infty} \left \{ f(x+1) - f(x) \right \}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(2\)

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 \(f(x)\) 에 대하여 점 \({\rm A} (a, \;f(a))\) 를 곡선 \(y=f(x)\) 의 변곡점이라 하고, 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(\rm A\) 에서의 접선의 방정식을 \(y=g(x)\) 라 하자. 직선 \(y=g(x)\) 가 함수 \(f(x)\) 의 그래프와 점 \({\rm B}(b,\;f(b))\) 에서 접할 때, 함수 \(h(x)\) 를 \(h(x)=f(x)-g(x)\) 라 하자. 에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, \(a \ne b\) 이다.) ㄱ. \(h'(b)=0\) ㄴ. 방정식 \(h'(x)=0\) 은 \(3\) 개 이상의 실근을 갖는다. ㄷ. 점 \((a, \;f(a))\) 는 곡선 \(y=h(x)\) 의..

\(-1 \leq a < b \leq 1\) 일 때, 등식 \(\dfrac{\frac{b}{e^b}-\frac{a}{e^a}}{b-a}=k\) 를 만족하는 \(k\) 의 값이 될 수 있는 정수 \(k\) 의 값은 모두 몇 개인지 구하시오. (단, \(e\) 는 자연로그의 밑이다.) 정답 \(5\)

함수 \(f(x)=x+\sin x\)에 대하여 함수 \(g(x)\) 를 \(g(x)= (f \circ f)(x)\) 로 정의할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프는 열린 구간 \((0,\; \pi)\) 에서 위로 볼록하다. ㄴ. 구간 \((-\infty, \; \infty)\) 에서 함수 \(g(x)\) 는 증가한다. ㄷ. 자연수 \(n\) 에 대하여 \(g'(x)=1\) 인 실수 \(x\) 가 열린 구간 \( \left ( (n-1)\pi, \; n\pi \right )\) 에 존재한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 \(f(x)\) 가 \(f(-1)=-1, \; f(0)=1, \; f(1)=0\) 을 만족시킬 때, 에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(f(a)=\dfrac{1}{2}\) 인 실수 \(a\) 가 구간 \((-1, \;1)\) 에 두 개 이상 존재한다. ㄴ. \(f'(b)=-1\) 인 실수 \(b\) 가 구간 \((-1, \; 1)\) 에 적어도 한 개 존재한다. ㄷ. \(f''(c)=0\) 인 실수 \(c\) 가 구간 \((-1, \;1)\) 에 적어도 한 개 존재한다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②

아래 그림은 직선 \(y=x\) 와 다항함수 \(y=f(x)\) 의 그래프의 일부이다. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f'(x)\geq 0\) 이고, \(f(0)=\dfrac{1}{5},\; f(1)=1\) 일 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은?ㄱ. \(f'(x)=\dfrac{4}{5}\) 인 \(x\) 가 열린구간 \((0,\;1)\) 에 존재한다.ㄴ. \(\displaystyle \int_0 ^1 f(x) dx+ \displaystyle \int _\frac{1}{5} ^1 f^{-1} (x) dx =1\) ㄷ. \(g(x)=(f\circ f)(x)\) 일 때, \(g'(x)=1\) 인 \(x\) 가 열린구간 \((0, \;1)\) 에 존재한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ..