수악중독

다음 그림에서 삼각형 \(\rm ABC\) 는 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}=4\sqrt{7}\) 인 이등변삼각형이고, 사각형 \(\rm BDCE\) 는 한 변의 길이가 \(2\sqrt{2}\) 인 정사각형이며, 이등변삼각형과 정사각형이 수직으로 만나고 있다. 평면 \(\alpha\) 는 직선 \(\rm BC\) 와 평행하고, 평면 \(\rm BDCE\)와 이루는 각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{3}\) 이다. 햇볕이 평면 \(\alpha\) 에 수직으로 비추고 있을 때, 평면 \(\alpha\) 위에 그려지는 이등변삼각형과 정사각형의 그림자의 넓이를 구하시오. 정답 \(20\)

그림과 같이 태양광선이 평면 \(\alpha\) 에 수직인 방향으로 비출 때, 원뿔의 밑면에 의해 평면 \(\alpha\) 에 생기는 그림자의 넓이는? ① \(\dfrac{\pi}{12}\) ② \(\dfrac{\pi}{8}\) ③ \(\dfrac{\pi}{4}\) ④ \(\dfrac{\pi}{24}\) ⑤ \(\dfrac{\pi}{3}\) ⑤ 정답 ⑤

그림과 같이 태양광선이 지면과 \(60^{\rm o}\) 의 각을 이루면서 비추고 있다. 한 변의 길이가 \(4\) 인 정사각형의 중앙에 반지름의 길이가 \(1\) 인 원 모양의 구멍이 뚫려 있는 판이 있다. 이 판은 지면과 수직으로 서 있고, 태양광선과 \(30^{\rm o}\) 의 각을 이루고 있다. 판의 밑변을 지면에 고정하고 판을 그림자 쪽으로 기울일 때 생기는 그림자의 최대 넓이를 \(S\) 라 하자. \(S\) 의 값을 \(\dfrac{\sqrt{3}(a+b\pi)}{3}\) 라 할 때, \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(a, \;b\) 는 정수이고 판의 두께는 무시한다.) 정답 \(30\)

그림과 같이 \(\overline{\rm EF}=3, \; \overline{\rm FG}=2\) 이고, 투명한 직육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 안에 반지름의 길이가 \(1\) 인 두 구 \(P, \;Q\) 가 들어 있다. 구 \(P\) 는 평면 \(\rm AEHD, \; EFGH\) 와 접하고, 구 \(Q\) 는 평면 \(\rm BFGC\) 와 접하고, 두 구는 외접하고 있다. 태양광선이 평면 \(\rm EFGH\) 와 \(30^{\rm o}\) 를 이루면서 두 구 \(P, \;Q\) 를 비춘다고 할 때, 지면에 두 구에 의해 생긴 그림자의 넓이가 \(a\pi+b\sqrt{3}\) 이다. 두 유리수 \(a, \;b\) 에 대하여 \(30(a+b)\) 의 값을 구하시오. (단, 태양광선은 평면 ..

좌표공간에서 직선 \(\dfrac{x-1}{2}= y+1=-z\) 가 \(xy\) 평면, \(zx\) 평면과 만나는 점을 각각 \(\rm A, \;B\) 라 하자 이때, 선분 \(\rm AB\) 의 평면 \(x-z=0\) 위로의 정사영의 길이는? ① \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\) ② \(\sqrt{2}\) ③ \(\dfrac{\sqrt{10}}{2}\) ④ \(\sqrt{3}\) ⑤ \(\dfrac{\sqrt{14}}{2}\) 정답 ①

그림과 같이 모든 모서리의 길이가 같은 정육각기둥 \(\rm ABCDEF-GHIJKL\) 에서 밑면의 세 대각선 \(\rm GJ,\; HK, \; IL\) 의 교점을 \(\rm O\) 라 하자. 평면 \(\rm BOF\) 와 평면 \(\rm CIJD\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\cos \theta\) 의 값은? ① \(\dfrac{\sqrt{15}}{5}\) ② \(\dfrac{\sqrt{15}}{6}\) ③ \(\dfrac{\sqrt{15}}{7}\) ④ \(\dfrac{\sqrt{15}}{8}\) ⑤ \(\dfrac{\sqrt{15}}{9}\) 정답 ①

그림과 같이 반지름의 길이가 \(4\) 이고 중심이 \(\rm C_1 ,\;C_2\) 인 두 구가 서로 외접해 있고, 반지름의 길이가 \(1\) 이고 중심이 \(\rm C_3\) 인 구가 중심이 \(\rm C_1\) 인 구에만 외접해 있다. 세 구가 같은 평면 \(\alpha\) 에 접하고 삼각형 \(\rm C_1 C_2 C_3\) 의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영을 삼각형 \(\rm C_1 ' C_2 ' C_3 ' = 90^o\) 일 때, 선분 \(\rm C_2 C_3\) 의 길이는? ① \(2\sqrt{14}\) ② \(\sqrt{57}\) ③ \(\sqrt{58}\) ④ \(\sqrt{59}\) ⑤ \(2\sqrt{15}\) 정답 ②

한 변의 길이가 \(5\) 인 정사각형 \(\rm ABCD\) 의 두 변 \(\rm AB,\; AD\) 가 평면 \(\pi\) 와 이루는 예각의 크기를 각각 \(\alpha,\; \beta\) 라 하자. \(\sin \alpha = \dfrac{3}{5},\; \sin \beta = \dfrac{\sqrt{7}}{5}\) 일 때, □\(\rm ABCD\) 의 평면 \(\pi\) 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. 정답 \(15\)

좌표공간에 구 \(x^2 +y^2 + z^2 =1\) 이 있다. 이 구 위에 두 점 \( {\rm A} (1,\;0,\;0),\;\; {\rm B} \left ( 0,\; {\displaystyle \frac{1}{\sqrt {2}}},\; -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\right ) \)에 대하여 \( \overline {\rm AP} = \overline {\rm BP} \) 를 만족하는 점 \( \rm P \) 가 구 \(x^2 +y^2 + z^2 =1\)에 있을 때, 점 \(\rm P\) 가 그리는 자취를 \(xy\) 평면에 정사영 시킨 도형의 넓이를 \(S\) 라고 한다. \(100S\) 의 값을 구하시오. (단, \( \pi =3.14\) 로 계산한다.) 정답..

반지름의 길이가 각각 \(2,\; 4,\; 8\)이고 서로 외접하는 세 개의 구가 평면 \(\alpha\) 위에 놓여 있다. 세 구의 중심을 각각 \(\rm A,\;B,\;C\)라 하고, 평면 \(\rm ABC\)와 평면 \(\alpha\)가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 하자. \(\cos \theta ={\Large \frac{b}{a}} \sqrt{2}\) 일 때, \(a+b\)의 값을 구하시오. (단, \(a,\;b)\)는 서로소인 자연수이다.) 정답 3