수악중독

좌표공간에서 평면 $y=\left ( \tan 75^{\rm o} \right ) x $ 위의 도형 $S$ 를 벡터 $\overrightarrow{v}=(1, \; -1, \; 0)$ 에 평행한 광선으로 비추었더니, $zx$ 평면에 나타난 도형 $S$ 의 그림자는 중심이 $(4, \;0, \; 0)$ 이고 반지름의 길이가 $3$ 인 원이 되었다. 도형 $S$ 의 넓이는? ① $3\sqrt{3}\pi$ ② $4\sqrt{3}\pi$ ③ $\dfrac{9\sqrt{6}}{4}\pi$ ④ $3\sqrt{6}\pi$ ⑤ $\dfrac{9\sqrt{6}}{2}\pi$ 정답 ④

공간도형의 기본 성질, 평면의 결정조건, 직선과 평면의 위치 관계 직선과 평면의 평행에 관한 성질 - 알고 있으면 도움되는 심화 내용 (1) 평행한 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 가 또 다른 평면 $\gamma$ 와 만나서 생기는 교선을 각각 $l, \; m$ 이라고 하면, 두 교선 $l, \;m$ 은 서로 평행하다. 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 는 평행하므로 만나지 않는다. 따라서 평면 $\alpha$ 에 포함된 직선 $l$ 과 평면 $\beta$ 에 포함된 직선 $m$도 서로 만나지 않는다. 그런데 두 직선 $l, \;m$ 은 모두 평면 $ \gamma$ 에 있으므로 $l \parallel m$ 이다. (2) 두 평면 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 평행하면 평면 $\..

좌표공간에 두 평면 \(\alpha\;:\;4y+3z-6=0\) 과 \(\beta \;:\; 2x+2y-z=0\) 이 있다. 점 \({\rm P} (1,\;0,\;2)\) 는 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 의 교선 위에 있는 점이고 점 \( \rm Q\) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) \( \left | \overrightarrow{\rm PQ} \right | =6\) (나) 직선 \(\rm PQ\) 와 평면 \(\alpha\) 가 이루는 각의 크기는 \(\dfrac{\pi}{4}\) 이다. 점 \(\rm Q\) 의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영을 \(\rm Q_1\) 이라 할 때, 선분 \(\rm PQ_1\) 의 길이의 최솟값 \(m\)과 최댓값 \(M\) 의 합은? ① ..

그림과 같이 길이가 \(4\) 인 선분 \(\rm AB\) 를 밑면의 지름으로 하는 반구가 벽면에 접하면서 고정되어 있다. 햇빛이 벽면과 \(30^{\rm o}\) 의 각을 이루고 지름 \(\rm AB\) 에 수직으로 비칠 때, 벽면에 생기는 반구의 그림자의 넓이는? (단, 반구의 밑변은 벽면과 평행하고, 반구의 그림자는 모두 벽면에만 생긴다.) ① \(4\pi\) ② \(\left ( 2+2\sqrt{3} \right ) \pi\) ③ \(4\sqrt{2}\pi\) ④ \(6\pi\) ⑤ \(\left ( 2+4\sqrt{3} \right ) \pi\) 정답 ④

그림과 같이 투명한 유리판 위에 \(\overline{\rm AB}=2\sqrt{3}\), \(\overline{\rm BC}=6\) 인 직사각형 \(\rm ABCD\) 모양의 종이가 놓여 있고, 점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(2\) 인 원판이 유리판과 한 점 \(\rm M\) 에서 만나고 있다. \(\rm M\) 은 선분 \(\rm AB\) 의 중점이고, \(\overline{\rm AB} \perp \overline{\rm OM}\) 이다. 두 점 \(\rm C, \;D\) 의 중점을 \(\rm N\) 이라 할 때, \(\angle \rm OMN=60^{\rm o}\) 이다. 태양광선이 원판을 포함하는 평면에 수직인 방향으로 비출 때, 직사각형 \(\rm ABCD\) 모양..

직선 \(l\) 을 교선으로 하는 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 가 있다. 그림과 같이 평면 \(\alpha\) 위에 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm BC}=1\) 이고, 변 \(\rm BC\) 는 직선 \(l\) 과 평행한 삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 세 점 \(\rm A, \;B,\;C\) 에서 평면 \(\beta\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm D, \;E,\;F\) 라 하면 다음이 성립한다. (가) 직선 \(\rm DF\) 는 직선 \(l\) 과 수직이다. (나) 삼각형 \(\rm DEF\) 의 넓이는 \(\dfrac{1}{3}\) 이다. 두 직선 \(\rm AB, \;DE\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때,..

그림과 같이 직육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 의 평면 \(\rm ABCD\) 를 \(\alpha\), 평면 \(\rm CDHG\) 를 \(\beta\) , 평면 \(\rm CDEF\) 를 \(\gamma\) 라 하자. 또 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 위에 있는 한 변의 길이가 \(6\) 인 정사각형을 각각 \(S, \;T\) 라 하자. 정사각형 \(\rm S\) 를 평면 \(\gamma\) 위로 정사영시킨 도형을 \(\rm S_{\gamma}\), 도형 \(\rm S_{\gamma}\) 를 평면 \(\beta\) 로 정사영시킨 도형을 \(\rm S_{\beta}\) 라 하고, 정사각형 \(\rm T\) 를 평면 \( \gamma\) 위로 정사영시킨 도형을 \(\rm T_{\ga..

좌표공간에서 \(x\) 축을 포함하고 \(xy\) 평면과 이루는 각의 크기가 \(\theta \; \left ( 0 < \theta

그림과 같이 정사면체 \(\rm ABCD\) 의 모서리 \(\rm CD\) 를 \(3:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm P\) 라 하자. 삼각형 \(\rm ABP\) 와 삼각형 \(\rm BCD\) 가 이루는 각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\cos \theta\) 의 값은? \( \left ( 단, \; 0

아래 그림과 같이 한 모서리의 길이가 \(12\) 인 정육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 가 있다. 모서리 \(\rm BF, \; DH\) 를 \(1:3\) 으로 내분하는 점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 하고, 세 점 \(\rm P, \;Q,\;G\) 를 지나는 평면으로 정육면체를 잘랐을 때, 생기는 단면의 넓이는? ① \(24\sqrt{34}\) ② \(26\sqrt{34}\) ③ \(28\sqrt{34}\) ④ \(30\sqrt{34}\) ⑤ \(32\sqrt{34}\) 정답 ③