수악중독

좌표평면에서 자연수 \(n\) 에 대하여 점 \({\rm P}_n ,\; {\rm Q}_n\) 을 다음 규칙대로 잡는다. (가) 점 \(\rm P_1\) 의 좌표는 \((0,\;0)\) 이다. (나) 점 \({\rm P}_n\) 을 \(x\) 축의 방향으로 \(n\) 만큼, \(y\) 축의 방향으로 \(n\) 만큼 평힝이동시킨 점은 \({\rm Q}_n\) 이다. (다) 점 \({\rm Q}_n\) 을 \(x\) 축의 방향으로 \(-1\) 만큼, \(y\) 축의 방향으로 \(1\) 만큼 평행이동시킨 점은 \({\rm P}_{n+1}\) 이다. 점 \({\rm Q}_n\) 의 좌표를 \((a_n ,\; b_n)\) 이라 할 때, \(a_{21}+b_{21}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(464\)

수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 = \dfrac{1}{2} ,\; a_{n+1} = a_n (a_n +1)\) (\(n\) 은 자연수) 을 만족한다. \(\dfrac{1}{a_1 +1} + \dfrac{1}{a_2 +1} + \cdots + \dfrac{1}{a_{100}+1}\) 의 정수 부분은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ①

수열 \( \{ a_n \} \) 을 \[ a_1 = 1 , \; a_2 = 2 , \; a_{n+2} = a_{n+1} + \dfrac{a_n}{n+1} \] 으로 정의할 때, 다음은 수열 \( \{ a_n \} \) 의 일반항을 구하는 과정이다. \( b_n = \dfrac{a_n}{n+1} \) 이라 놓으면 \( a_n = (n+1) b_n \) 이므로 \( (n+3) b_{n+2} = ( \;(가)\; ) b_{n+1} + b_n \) \( (n+3) ( b_{n+2} - b_{n+1} ) = - (b_{n+1} - b_n ) \cdots \cdots \) (★) 식 (★) 에 \( n=1 , \; 2 , \; \cdots , \; m-1 \; (m \geq 2 ) \) 를 대입하면 \( 4 (b..

\( n \) 이 자연수일 때, 집합 \( A_n = \{ 1 , \; 2 , \; 3 , \; \cdots , \; n \} \) 에서 집합 \( A_n \) 으로의 함수 \( f \) 중에서 합성함수 \( f \circ f \) 가 항등함수인 \( f \) 의 개수를 \( a_n \) 이라 하자. 다음은 수열 \( \{ a_n \} \) 의 연속한 세 항 사이의 점화식을 구하는 과정이다. 집합 \( A_{n+2} \) 에서 집합 \( A_{n+2} \) 로의 함수 중에서 \( f \circ f \)가 항등함수인 함수 \( f \) 는 다음과 같이 두 가지 경우로 나눌 수 있다. (i) \( f(n+2)=n+2 \) 일 때, 집합 \( A_{n+1} \) 에서 집합 \( A_{n+1} \) 으로의 함수..

수열 \(\{a_n \}\) 이 \(a_1 =1\) 이고, 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \[\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = 1- \dfrac{1}{(n+1)^2}\] 을 만족시킬 때, \(100 a_{10}\) 의 값을 구하시오. 정답 55

수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 =10\) 이고, \[a_{n+1}=a_1 + \dfrac{1}{2} a_2 + \dfrac{1}{3} a_3 + \cdots + \dfrac{1}{n} a_n \;\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\] 을 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정이다. \(n\ge 2\) 인 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_{n+1} - a_n =\left ( a_1 + \dfrac{1}{2}a_2 + \dfrac{1}{3}a_3 + \cdots + \dfrac{1}{n}a_n\right ) \) \(- \left ( a_1 + \dfrac{1}{2}a_2 + \dfrac{1}{3}a_3 + \cdots + \dfrac{1}{n-1}a_{n-1}\ri..

수직선 위에 점 \({\rm P}_n \;\; (n= 1, \; 2,\; 3,\; \cdots)\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 \(\rm P_1\) 의 좌표는 \(\rm P_1 (0)\) 이다. (나) \(\overline {\rm P_1 P_2} =1 \) 이다. (다) \(\overline {{\rm P}_n {\rm P}_{n+1}} = \dfrac{n-1}{n+1} \times \overline{{\rm P}_{n-1} {\rm P}_n} \;\;\; (n=2,\;3,\;4,\;\cdots)\) 선분 \({\rm P}_n {\rm P}_{n+1} \) 을 밑변으로 하고 높이가 \(1\) 인 직각삼각형의 넓이를 \(S_n\) 이라 하자. \(S_1 +S_2 +S_3 + \cdots +..

수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라 하자. (단, \(a_1

한 개의 정삼각형에서 각 변의 중점을 선분으로 이으면 \(4\) 개의 작은 정삼각형이 생긴다. 이때, 가운데 정삼각형 하나를 잘라내면 \(3\) 개의 정삼각형이 남는다. 남은 \(3\) 개의 각 정삼각형에서 같은 과정을 반복하면 모두 \(9\) 개의 정삼각형이 남고, 다시 \(9\) 개의 각 정삼각형에서 같은 과정을 계속하여 만들어지는 도형을 나타낸 것이다. 두 정삼각형이 공유하는 꼭짓점은 한 개의 꼭짓점으로 셀 때, \(n\) 번째 도형에서 남은 정삼각형들의 꼭짓점의 개수를 \(a_n\) 이라 하자. 예를 들어, \(a_1 =6, \; a_2 =15\) 이다. \(a_5\) 의 값은? ① \(366\) ② \(376\) ③ \(386\) ④ \(396\) ⑤\(406\) 정답 ①

다음과 같이 정사각형을 가로 방향으로 \(3\) 등분하여 [도형1]을 만들고, 세로 방향으로 \(3\) 등분하여 [도형2]를 만든다. [도형1]과 [도형2]를 번갈아 가며 계속 붙여 아래와 같은 도형을 만든다. 그림과 같이 첫 번째 붙여진 [도형1]의 왼쪽 맨 위 꼭짓점을 \(\rm A\) 라 하고, [도형1]의 개수와 [도형2]의 개수를 합하여 \(n\) 개 붙여 만든 도형의 오른쪽 맨 아래 꼭짓점을 \({\rm B}_n\) 이라 하자. 꼭짓점 \(\rm A\) 에서 꼭짓점 \({\rm B}_n\) 까지 선을 따라 최단거리로 가는 경로의 수를 \(a_n\) 이라 할 때, \(a_3 +a_7\) 의 값은? ① \(26\) ② \(28\) ③ \(30\) ④ \(32\) ⑤ \(34\) 정답 ④