수학1_수열_점화식_난이도 중

수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 =10\) 이고, \[a_{n+1}=a_1 + \dfrac{1}{2} a_2 + \dfrac{1}{3} a_3 + \cdots + \dfrac{1}{n} a_n \;\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\] 을 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정이다.

\(n\ge 2\) 인 자연수 \(n\) 에 대하여
\(a_{n+1} - a_n =\left ( a_1 + \dfrac{1}{2}a_2 + \dfrac{1}{3}a_3 + \cdots + \dfrac{1}{n}a_n\right ) \)
                                             \(- \left ( a_1 + \dfrac{1}{2}a_2 + \dfrac{1}{3}a_3 + \cdots + \dfrac{1}{n-1}a_{n-1}\right )\) 이므로
\(a_{n+1} = \;\;(가)\;\; \times a_n\) 이다.
\(n=2,\;3,\;4,\; \cdots ,\;n-1\) 을 차례로 대입하면
   \(a_3 =\dfrac{3}{2}a_2\)
   \(a_4 = \dfrac{4}{3}a_3\)
       \( \vdots\)
   \(a_n = \dfrac{n}{n-1} a_{n-1} \) 이므로
   \(a_n =\;\;(나)\;\; (n \ge 2)\)
따라서  주어진 수열 \(\{a_n\}\) 의 일반항은 \(a_1 = 10\) 이고, \(a_n =\;\;(나)\;\;(n \ge 2)\)

 
위의 (가)에 알맞은 식을 \(f(n)\) , (나)에 알맞은 식을 \(g(n)\) 이라 할 때, \(f(5)\times g(10)\) 의 값은?

① \(60\)          ② \(75\)          ③ \(90\)          ④ \(105\)          ⑤ \(120\)

정답 ①