수학1_수열_점화식_난이도 중

수열 $\{ a_n \}$ 을 $a_1 = 1 , \; a_2 = 2 , \; a_{n+2} = a_{n+1} + \dfrac{a_n}{n+1}$ 으로 정의할 때, 다음은 수열 $\{ a_n \}$ 의 일반항을 구하는 과정이다.

 

$b_n = \dfrac{a_n}{n+1}$ 이라 놓으면 $a_n = (n+1) b_n$ 이므로

$(n+3) b_{n+2} = ( \;(가)\; ) b_{n+1} + b_n$

 

$(n+3) ( b_{n+2} - b_{n+1} ) = - (b_{n+1} - b_n ) \cdots \cdots$ (★)

 

식 (★) 에 $n=1 , \; 2 , \; \cdots , \; m-1 \; (m \geq 2 )$ 를 대입하면

 

$4 (b_3 - b_2 ) = -(b_2 - b_1 )$

 

$5 ( b_4 - b_3 ) = - (b_3 - b_2 )$

 

       $\vdots$

 

$( m+2) ( b_{m+1} - b_m ) = - ( b_m - b_{m-1} )$

 

좌변과 우변을 각각 곱하여 정리하면,

 

$b_{m+1} - b_m = \left( - \dfrac{1}{4} \right) \left( - \dfrac{1}{5} \right) \cdots \left( - \dfrac{1}{m+2} \right) ( b_2 - b_1 )$

 

$b_n = b_1 + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {(b_{k+1} - b_k)} \; (n \geq 2 )$

 

따라서 $a_1 = 1 , \; a_n = (n+1) \left( \dfrac{1}{2} + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {(나)}\right)$ 이다

 

위의 (가), (나) 에 들어갈 식을 $f(n) , \; g(k)$ 라 할 때, $f(1) g(3)$ 의 값은? (4점)

 

① $\dfrac{1}{240}$          ② $\dfrac{1}{180}$          ③ $\dfrac{1}{40}$          ④ $\dfrac{1}{30}$          ⑤ $\dfrac{1}{24}$

 

 

정답 ③