수학1_수열_점화식_난이도 중

수열 \( \{ a_n \} \) 을 \[ a_1 = 1 , \; a_2 = 2 , \; a_{n+2} = a_{n+1} + \dfrac{a_n}{n+1} \] 으로 정의할 때, 다음은 수열 \( \{ a_n \} \) 의 일반항을 구하는 과정이다.

 

\( b_n = \dfrac{a_n}{n+1} \) 이라 놓으면 \( a_n = (n+1) b_n \) 이므로

\( (n+3) b_{n+2} = ( \;(가)\; ) b_{n+1} + b_n \)

 

\( (n+3) ( b_{n+2} - b_{n+1} ) = - (b_{n+1} - b_n ) \cdots \cdots \) (★)

 

식 (★) 에 \( n=1 , \; 2 , \; \cdots , \; m-1 \; (m \geq 2 ) \) 를 대입하면

 

\( 4 (b_3 - b_2 ) = -(b_2 - b_1 ) \)

 

\( 5 ( b_4 - b_3 ) = - (b_3 - b_2 ) \)

 

       \( \vdots \)

 

\( ( m+2) ( b_{m+1} - b_m ) = - ( b_m - b_{m-1} ) \)

 

좌변과 우변을 각각 곱하여 정리하면,

 

\( b_{m+1} - b_m = \left( - \dfrac{1}{4} \right) \left( - \dfrac{1}{5} \right) \cdots \left( - \dfrac{1}{m+2} \right) ( b_2 - b_1 ) \)

 

\( b_n = b_1 + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {(b_{k+1} - b_k)} \; (n \geq 2 ) \)

 

따라서 \( a_1 = 1 , \; a_n = (n+1) \left( \dfrac{1}{2} + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {(나)}\right) \) 이다

 

위의 (가), (나) 에 들어갈 식을 \( f(n) , \; g(k) \) 라 할 때, \( f(1) g(3) \) 의 값은? (4점)

 

① \(\dfrac{1}{240}\)          ② \(\dfrac{1}{180}\)          ③ \(\dfrac{1}{40}\)          ④ \(\dfrac{1}{30}\)          ⑤ \(\dfrac{1}{24}\)

 

 

정답 ③