수학1_수열_점화식_난이도 상

\( n \) 이 자연수일 때, 집합 \( A_n = \{ 1 , \; 2 , \; 3 , \; \cdots , \; n \} \) 에서 집합 \( A_n \) 으로의 함수 \( f \) 중에서 합성함수 \( f \circ f \) 가 항등함수인 \( f \) 의 개수를 \( a_n \) 이라 하자. 다음은 수열 \( \{ a_n \} \) 의 연속한 세 항 사이의 점화식을 구하는 과정이다.

집합 \( A_{n+2} \) 에서 집합 \( A_{n+2} \) 로의 함수 중에서 \( f \circ f \)가 항등함수인 함수 \( f \) 는 다음과 같이 두 가지 경우로 나눌 수 있다.

(i) \( f(n+2)=n+2 \) 일 때, 집합 \( A_{n+1} \) 에서 집합 \( A_{n+1} \) 으로의 함수 중에서 \( f \circ f \) 가 항등함수인 함수 \( f \) 의 개수는 \( a_{n+1} \) 이다.

(ii) \( f(n+2) \ne n+2 \) 일 때, \( f \circ f \) 가 항등함수이므로 \( f ( n+2 ) = p ( p \ne n +2 ) \) 라 하면 \( f (p)= (가) \) 이다.

이때 집합 \( A'_n \) 을 \( A'_n = A_{n+2} - \{ p , \; n+2 \} \) 라 하면 집합 \( A'_n \) 에서 집합 \( A'_n \) 으로의 함수 중에서 \( f \circ f \) 가 항등함수인 함수 \( f \) 의 개수는 \( a_n \) 이다. 따라서, \( f (n+2) \ne n+2 \) 인 함수 \( f \) 의 개수는 \( (나) \times a_n \) 이다.

(i), (ii) 에서

\( a_{n+2} = a_{n+1} + (나) \times a_n \)

위의 과정에서 (가), (나) 에 알맞은 식을 각각 \( g(n), \; h(n) \) 이라 할 때, \( g(100) + h(100) \) 의 값은? 

① \(201\)          ② \(202\)          ③ \(203\)          ④ \(204\)          ⑤ \(205\)

 

 

정답 ③