수악중독

이차정사각행렬 \(A\)가 적당한 실수 \(k\) 에 대하여 \[A^{2012} + kA^{2011} =E,\;\; A^{2011} + A^{2010} = O\] 가 성립할 때, 행렬 \(A\) 의 모든 성분의 합은? (단, \(E\) 는 단위행렬이고, \(O\) 는 영행렬이다.) ① \(2\) ② \(1\) ③ \(0\) ④ \(-1\) ⑤ \(-2\) 정답 ⑤

정수 \(a,\;b,\;c,\;d\) 에 대하여 이차 정사각행렬 \( A=\left ( \matrix{ a & b \cr c & d} \right) \) 가 \[A^2 = \left ( \matrix { 2k & 0 \cr 0 & 2k } \right ),\; A \left ( \matrix {1 \cr 1} \right) = \left ( \matrix {k \cr k^2} \right ) \] 을 만족할 때, 실수 \(k\) 의 값은? (단, \(k \neq 0 \)) ① \(-1\) ② \(1\) ③ \(2\) ④ \(3\) ⑤ \(4\) 정답 ③

이차정사각행렬 \(A\) 가 \(A^2 -A-E=O,\; \; A \left ( \matrix {2 \cr 3} \right ) = \left ( \matrix {1 \cr -4} \right )\) 를 만족한다. 연립방정식 \( (A+E) \left ( \matrix {x \cr y} \right) = \left ( \matrix { 2 \cr 3} \right )\) 의 해를 \(x=\alpha ,\; y=\beta \) 라 할 때, \(\alpha + \beta \) 의 값을 구하시오. (단, \(E\) 는 단위행렬, \(O\) 는 영행렬이다.) 정답 13

이차정사각행렬 \(A\) 에 대하여 \[ A \left ( \matrix {4 \cr 1} \right ) = \left ( \matrix { 5 \cr 1} \right ),\;\; A \left ( \matrix { 3 \cr 1} \right ) = \left ( \matrix {4 \cr 1} \right ) \] 을 만족할 때, 행렬 \(A^{100}\) 의 모든 성분의 합을 구하시오. 정답 102

좌표평면에서 두 점 \({\rm A}(1,\;\sqrt{3}),\; {\rm B}(1, \; -\sqrt{3})\) 에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 점 \({\rm P}(x,\;y)\) 가 나타내는 도형 전체의 길이는? (가) \(x^2 +y^2 =4\) (나) 선분 \(\rm AB\) 위의 임의의 점 \((1, \;a)\) 에 대하여 행렬 \( \left ( \matrix {x&y \\ 1&a} \right )\) 는 역행렬을 갖는다. ① \({\Large \frac{1}{3}} \pi\) ② \({\Large \frac{1}{2}} \pi\) ③ \(\pi\) ④ \({\Large \frac{4}{3}} \pi\) ⑤ \({\Large \frac{3}{2}} \pi\) 정답 ④

임의의 실수 \(k\) 에 대하여 행렬 \(\left ( \matrix{2k & k-1 \\ b(k+1) & 2k+a-1} \right ) \) 의 역행렬이 존재하도록 하는 정수 \(a,\;b\) 의 순서쌍 \((a,\; b)\) 중에서 \(a

정수 \(a,\;b,\;c\) 에 대하여 행렬 \(A\) 를 \(A=\left ( \matrix {a & b \\ 1 & c} \right ) \) 라 하자. \(\left | b \right | \le 100\) 일 때, \(A= A^{-1}\) 을 만족하는 행렬 \(A\) 의 개수를 구하시오. 정답 21

이차정사각행렬 \(A, \; B\) 에 대하여 \((A+B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1} , \;\; AB+E=O\) 가 성립할 때, \( A^2 +B^2 \) 을 간단히 하면? (단, \(X^{-1}\) 은 \(X\) 의 역행렬, \(E\) 는 단위행렬, \(O\) 는 영행렬) ① \(A\) ② \(B\) ③ \(O\) ④ \(-E\) ⑤ \(E\) 정답 ⑤

원 \(x^2 +y^2 =1\) 위의 점 \({\rm P} (a,\;b)\)와 원 \(x^2 +y^2 =25\) 위의 점 \({\rm Q}(c,\; d)\) 에 대하여 행렬 \(A=\left ( \matrix { a& b \\ c& d} \right ) \) 로 정의하자. 행렬 \(A\) 이 역행렬이 존재하지 않도록 두 점 \(\rm P,\;Q\) 를 정할 때, \(\overline {\rm PQ}^2 \) 의 최댓값을 구하시오. 정답 36

역행렬을 갖는 이차정사각행렬 \(A\)에 대하여 \[\left ( \matrix { 1& k \\ 2 & 4}\right ) A = \left( \matrix {-1 & -3 \\ -2 & -6} \right ) , \;\; A^2 = \left ( \matrix {1 &k \\ 0 & 1} \right ) \] 이 성립할 때, 행렬 \(A^4\) 의 모든 성분의 합을 구하시오. (단, \(k\) 는 실수) 정답 6