수악중독

첫째항이 \(2\) 인 두 등비수열 \(\{a_n \} ,\; \{ b_n \}\) 이 다음을 만족한다.\[\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n =4,\;\; \sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n =6\] 이때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left ( a_n -b_n \right ) ^2\) 의 값은? ① \(\dfrac{5}{12}\) ② \(\dfrac{8}{15}\) ③ \(\dfrac{2}{3}\) ④ \(\dfrac{3}{4}\) ⑤ \(\dfrac{7}{8}\) 정답 ②

한 변의 길이가 \(1\)인 정육각형에서 서로 이웃하지 않는 세 변의 중점과 이 정육각형에 외저접하는 원의 중심을 각각 연결하여 세 선분을 얻는다. 이 세 선분을 각각 가장 긴 대각선으로 하는 \(3\) 개의 정육각형을 그려서 얻은 삼각형 벌집 모양의 그림을 \(H_1\) 이라 하고, 그림 \(H_1\) 의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 그림 \(H_1\) 에서 새로 그려진 세 정육각형 내부에 각각 그림 \(H_1\) 을 얻은 것과 같은 방법으로 그려서 얻은 \(3\) 개의 삼각형 벌집 모양의 그림을 \(H_2\) 라 하고, 그림 \(H_2\) 의 넓이를 \(S_2\) 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 그려서 얻은 \(3^{n-1}\) 개의 삼각형 벌집 모양의 그림을 \(H_n\)..

다항함수 \(y=f(x)\) 의 도함수 \(f'(x)\) 로부터 얻을 수 있는 무한급수 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{f'(n)}\) 에 대하여, 에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(f'(n) \ne 0\) 이다.) ㄱ. \(f(x)=2x^3 +3x^2 +1\) 이면 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{f'(n)} = \dfrac{1}{6}\) 이다. ㄴ. \(\lim \limits_{x \to \infty} f(x)=\infty\) 이면 \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{f'(n)}\) 은 수렴한다. ㄷ. \(\sum \limits_{n=1..

그림과 같이 점 \(\rm A\) 를 꼭짓점으로 하고 선분 \(\rm BC\) 를 밑면의 지름으로 하며 \(\overline {\rm AB} =100,\; \overline {\rm BC}=50\) 인 직원뿔이 있다. 모선 \(\rm AC\) 위의 점 \(\rm Q_1\) 은 점 \(\rm B\) 에서 원뿔의 옆면을 돌아 모선 \(\rm AC\) 에 최단 거리로 이르는 점이고, 모선 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm Q_2\) 는 점 \(\rm Q_1\) 에서 원뿔의 옆면을 돌아 모선 \(\rm AB\) 에 최단 거리로 이르는 점이다. 이와 같은 방법으로 점 \({\rm Q}_n\) 은 모선 \(\rm AB\) 또는 \(\rm AC\) 위의 점 \({\rm Q}_{n-1}\) 에서 원뿔의 옆면을 돌..

수열 \(\{a_n\}\) 의 계차수열은 공비가 \(\dfrac{1}{2}\) 인 등비수열이다. \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n =20\) 일 때, \(a_1\) 의 값을 구하시오. 정답 10

다음과 같이 무한히 나열된 수를 모두 더하면? ① \(\dfrac{98}{9}\) ② \(11\) ③ \(\dfrac{100}{9}\) ④ \(\dfrac{101}{9}\) ⑤ \(\dfrac{34}{3}\) 정답 ③

순환소수로 이루어진 수열 \(\{a_n\}\) 의 각 항이 \[ a_1 = 0. \dot {1},\;\; a_2 = 0. \dot {1} \dot {0},\;\; a_3 = 0. \dot {1} 0 \dot {0},\;\; \cdots \] 일 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left ( \dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} \right ) \) 의 값은? ① \(\dfrac{2}{3}\) ② \(1\) ③ \(\dfrac{4}{3}\) ④ \(\dfrac{5}{3}\) ⑤\(2\) 정답 ②

무한수열의 극한값과 무한급수의 성질이다. 에서 옳은 것을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n =\alpha , \;\; \lim \limits_{n \to \infty} b_n = \beta \) 이면 \( \lim \limits_{n \to \infty} a_n b_n =0 \) 이다. (단, \(\alpha , \; \beta\) 는 상수) ㄴ. \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} (2a_n +b_n)\) 과 \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} (a_n - 2b_n )\) 이 수렴하면 \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 과 \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} b..

수렴하는 무한급수만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{\cos n \pi}{2^n}\) ㄴ. \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)}\) ㄷ. \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left ( 1 - \dfrac{1}{n} \right ) \) ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

좌표평면에서 직선 \(x-3y+3=0\) 위에 있는 점 중에서 \(x\) 좌표와 \(y\) 좌표가 자연수인 모든 점의 좌표를 각각 \((a_1 , \; b_1 ),\;\; (a_2 , \; b_2 ) ,\;\; \cdots ,\;\;(a_n , \; b_n ) ,\;\; \cdots \) 이라 할 때, 무한급수 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a_n b_n} \) 의 값은? (단, \(a_1