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목록미적분 - 문제풀이/미분법 (97)
수악중독
함수 $f(x)=\ln \left (x^2-x+2 \right )$ 와 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $g(x)$ 가 있다. 실수 전체의 집합에서 정의된 합성함수 $h(x)$ 를 $h(x)=f(g(x))$ 라 하자. $\lim \limits_{x \to 2} \dfrac{g(x)-4}{x-2}=12$ 일 때, $h'(2)$ 의 값은? ① $4$ ② $6$ ③ $8$ ④ $10$ ⑤ $12$ 더보기 정답 ②
곡선 $2e^{x+y-1}=3e^x+x-y$ 위의 점 $(0, \; 1)$ 에서의 접선의 기울기는? ① $\dfrac{2}{3}$ ② $1$ ③ $\dfrac{4}{3}$ ④ $\dfrac{5}{3}$ ⑤ $2$ 더보기 정답 ①
그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}$ 이고 길이가 $2$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 원이 있다. 원 위에 점 $\mathrm{P}$ 를 $\angle \mathrm{PAB}=\theta$ 가 되도록 잡고, 점 $\mathrm{P}$ 를 포함하지 않는 호 $\mathrm{AB}$ 위에 점 $\mathrm{Q}$ 를 $\angle \mathrm{QAB}=2\theta$ 가 되도록 잡는다. 직선 $\mathrm{OQ}$ 가 원과 만나는 점 중 $\mathrm{Q}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{R}$, 두 선분 $\mathrm{PA}$ 와 $\mathrm{QR}$ 가 만나는 점을 $\mathrm{S}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{BOQ}$ 의 넓이를 $f(\theta)$..
최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\sin |\pi f(x)|$$ 라 하자. 함수 $y=g(x)$ 의 그래프와 $x$ 축이 만나는 점의 $x$ 좌표 중 양수인 것을 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, $n$ 번째 수를 $a_n$ 이라 하자. 함수 $g(x)$ 와 자연수 $m$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=a_4$ 와 $x=a_8$ 에서 극대이다. (나) $f(a_m)=f(0)$ $f(a_k) \le f(m)$ 을 만족시키는 자연수 $k$ 의 최댓값을 구하시오. 더보기 정답 $208$
매개변수 $t$ 로 나타내어진 곡선 $$x=\dfrac{5t}{t^2+1}, \quad y=3 \ln \left (t^2 +1 \right )$$ 에서 $t=2$ 일 때, $\dfrac{dy}{dx}$ 이 값은? ① $-1$ ② $-2$ ③ $-3$ ④ $-4$ ⑤ $-5$ 더보기 정답 ④
$\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{2^{ax+b}-8}{2^{bx}-1}=16$ 일 때, $a+b$ 의 값은? (단, $a$ 와 $b$ 는 $0$ 이 아닌 상수이다.) ① $9$ ② $10$ ③ $11$ ④ $12$ ⑤ $13$ 더보기 정답 ①
$x$ 에 대한 방정식 $x^2-5x+2 \ln x = t$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $2$ 가 되도록 하는 모든 실수 $t$ 의 값의 합은? ① $-\dfrac{17}{2}$ ② $-\dfrac{33}{4}$ ③ $-8$ ④ $-\dfrac{31}{4}$ ⑤ $-\dfrac{15}{2}$ 더보기 정답 ②
두 상수 $a\; (a>0), \; b$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $a \times b$ 의 값은? (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$\{f(x)\}^2+2f(x)=a \cos^3 \pi x \times e^{\sin^2 \pi x}+b$$ 이다. (나) $f(0)=f(2)+1$ ① $-\dfrac{1}{16}$ ② $-\dfrac{7}{64}$ ③ $-\dfrac{5}{32}$ ④ $-\dfrac{13}{64}$ ⑤ $-\dfrac{1}{4}$ 더보기 정답 ②
세 실수 $a, \; b, \; k$ 에 대하여 두 점 $\mathrm{A}(a, \; a+k), \; \mathrm{B}(b, \; b+k)$ 가 곡선 $C:x^2-2xy+2y^2=15$ 위에 있다. 곡선 $C$ 위의 점 $\mathrm{A}$ 에서의 접선과 곡선 $C$ 위의 점 $\mathrm{B}$ 에서의 접선이 서로 수직일 때, $k^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a+2k \ne 0, \; b+2k \ne 0$) 더보기 정답 $5$