합성함수의 미분 활용_난이도 상 (2024년 5월 전국연합 고3 미적분 29번)

 

 

그림과 같이 길이가 $3$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 를 삼등분하는 점 중 $\mathrm{A}$ 와 가까운 점을 $\mathrm{C}$, $\mathrm{B}$ 와 가까운 점을 $\mathrm{D}$ 라 하고, 선분 $\mathrm{BC}$ 를 지름으로 하는 원을 $O$ 라 하자. 원 $O$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 를 $\angle \mathrm{BAP}=\theta \; \left (0< \theta < \dfrac{\pi}{6} \right )$ 가 되도록 잡고, 두 점 $\mathrm{P, \; D}$ 를 지나는 직선이 원 $O$ 와 만나는 점 중 $\mathrm{P}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 선분 $\mathrm{AQ}$ 의 길이를 $f(\theta)$ 라 할 때, $\cos \theta_0 = \dfrac{7}{8}$ 인 $\theta_0$ 에 대하여 $f'(\theta_0)=k$ 이다. $k^2$ 의 값을 구하시오. (단, $\angle \mathrm{PAD} < \dfrac{\pi}{2}$ 이고 $0<\theta_0<\dfrac{\pi}{6}$ 이다.)

 

 

정답 $40$