정사영의 넓이&이면각의 크기&삼수선의 정리_난이도 상 (2021년 10월 전국연합 고3 기하 30번)

한 변의 길이가 $4$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 를 한 면으로 하는 사면체 $\rm ABCD$ 의 꼭짓점 $\rm A$ 에서 평면 $\rm BCD$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 할 때, 점 $\rm H$ 는 삼각형 $\rm BCD$ 의 내부에 놓여 있다. 직선 $\rm DH$ 가 선분 $\rm BC$ 와 만나는 점을 $\rm E$ 라 할 때, 점 $\rm E$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $\angle \rm AEH = \angle DAH$

(나) 점 $\rm E$ 는 선분 $\rm CD$ 를 지름으로 하는 원 위의 점이고 $\overline{\rm DE}=4$ 이다.

 

삼각형 $\rm AHD$ 의 평면 $\rm ABD$ 위로의 정사영의 넓이는 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

정답 $7$