수악중독

각 면에 $0, \; 1, \; 2, \; 3, \; 4$ 의 숫자가 각각 $2$ 개, $4$ 개, $3$ 개, $2$ 개, $1$ 개 씩 적혀있는 정십이면체가 있다. 이 정십이면체를 $32$번 던져 바닥에 접하는 숫자들의 평균을 $\overline{X}$ 라고 할 때, ${\rm P} \left ( \overline{X} \ge k \right ) = 0.1587$ 을 만족시키는 상수 $k$ 의 값을 구하여라. (단, ${\rm P} (0 \le Z \le 1)=0.3413$ 이다.) 정답 $\dfrac{15}{8}$ 정십이면체를 던져 바닥에 접하는 숫자를 확률변수 $X$ 라고 하면 $X$ 의 확률분포는 아래 표와 같다. $X$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ ${\rm P}(X)$ $\dfrac{..

집합 $X=\{ x \; |\; x$ 는 $5$ 이하의 자연수$\}$ 에서 집합 $Y=\{y \; | \;y$ 는 $25$ 이하의 자연수$\}$ 로의 함수 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 $f$ 의 개수는? $4$ 이하의 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $f(n+1) \le f(n)-2n$ 이 성립한다. ① $124$ ② $125$ ③ $126$ ④ $127$ ⑤ $128$ 정답 ③

주머니에 흰 공 $1$ 개, 검은 공 $2$ 개가 들어있다. $\rm A, \; B$ 두 사람이 차례로 $1$ 개의 주사위를 한 번씩 던질 때 나오는 눈의 수를 각각 $a, \; b$ 라 하자. 이때 $a>b$ 이면 $\rm A$ 가 주머니에서 공을 임의로 $1$ 개 꺼내고, $a \le b$ 이면 $\rm B$ 가 주머니에서 임의로 $2$ 개의 공을 동시에 꺼낸다. 이 시행에서 흰 공이 나왔을 때, $a=5$ 이었을 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $65$

한 주머니에 들어 있는 $9$개의 공을 각각 $x_1, \; x_2, \; x_3, \; \cdots, \; x_9$ 라 하고, 공 $x_i$ 의 부피와 무게를 각각 $V_i, \; m_i$ $(i=1, \; 2, \;3, \; \cdots, \; 9)$ 라 할 때, $$V_1 m_2 > m_3 > \cdots > m_9$$ 가 성립한다. 이 주머니에 들어 있는 $9$개의 공을 임의로 $3$개씩 $3$개의 주머니 $\rm A, \; B, \;C$ 에 나누어 넣을 때, 각 주머니에 들어 있는 공 중 부피가 최대인 공의 부피를 각각 $V_{\rm A}, \; V_{\rm B}, \; V_{\rm C}$ 라 하고, 무게가 최대인 공의 무게를 각각 $m_{\rm A}, \; m_{\rm B}, \; m_{\rm..

아래 그림과 같은 $7$ 개의 영역을 서로 다른 네 가지 색을 일부 또는 전부를 사용하여 색칠하는 경우의 수를 구하시오.(단, 이웃하는 영역은 서로 다른 색을 칠해야 하고, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) 정답 $56$ 색을 세 가지만 사용하는 경우4개의 색 중 3개를 선택하는 경우의 수는 ${}_4{\rm C}_3$, 다시 3개의 색 중 가운데 영역을 칠할 색을 선택하는 경우의 수는 $_3{\rm C}_1$ 이 됩니다. 만약 4개의 색 중 $A, \; B, \; C$ 3개의 색이 선택되고, 가운데 영역을 칠할 색으로 $A$가 선택되었다고 하면 영역을 모두 칠하는 방법은 아래 그림 처럼 한 가지 밖에 없습니다.$\therefore {}_4 {\rm C}_3 \times 3 =12$ 네 가지 ..

집합 $\rm U=\{1, \; 2, \; 3, \; \cdots, \; 2017 \}$ 에 대하여 $\rm U$ 의 부분집합 $\rm A, \; B, \; C$ 의 관계가 아래 벤 다이어그램과 같다고 할 때, 부분집합 $\rm A, \; B, \; C$ 를 구성할 수 있는 방법의 수는? (단, $\rm A, \; B, \; C$ 는 모두 공집합이 아니다.)① $3^{2016} - 2^{2017} +1$② $3^{2017} - 2^{2017} +1$③ $3^{2017} - 2^{2018} +1$④ $3^{2018} - 2^{2017} +1$⑤ $3^{2018} - 2^{2018} +1$ 정답 ③ 첫 번째 방법먼저 전체 집합의 영역을 세 개로 나누자.먼저 집합 $\rm A-C$ 가 나타내는 영역을 $a$ ..

자연수 $n$ 에 대하여 $0$ 부터 $n$ 까지의 정수가 하나씩 적힌 $(n+1)$ 개의 공이 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 한 개의 공을 꺼내어 공에 적힌 수를 확인하고 다시 넣는 과정을 $5$ 번 반복할 때, 확인한 $5$ 개의 수가 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 $a_n$ 이라 하자. (가) 꺼낸 공에 적힌 수는 먼저 꺼낸 공에 적힌 수보다 작지 않다.(나) 세 번째 꺼낸 공에 적힌 수는 첫 번째 꺼낸 공에 적힌 수보다 $1$ 이 더 크다. $\sum \limits_{n=1}^{18} \dfrac{a_n}{n+2}$ 의 값을 구하시오. 정답 $760$

$1$부터 $15$까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 정육면체 모양의 검은 블록 $6$ 개와 흰 블록 $9$ 개가 있다. 이 $15$ 개의 블록을 일렬로 빈틈없이 늘어 놓을 때, 색이 달리지는 곳의 개수를 $a$ 라 하자. 예를 들어, 그림과 같이 $15$ 개의 블록을 일렬로 빈틈없이 늘어 놓은 경우 $a=5$ 이다. 이와 같이 $15$ 개의 블록을 일렬로 빈틈없이 늘어 놓는 모든 경우에 대하여 $a$ 값의 합은 $n \times 14!$ 이다. 자연수 $n$ 의 값은? ① $100$ ② $104$ ③ $108$ ④ $112$ ⑤ $116$ 정답 ③

다음 조건을 만족시키는 세 자연수 $a, \; b, \; c$ 의 순서쌍 $(a, \; b, \; c)$ 의 개수를 구하시오. (가) $a+b+c=10$(나) $a \le 5, \; \; b \le 6, \;\; c \le 7$ 정답 $26$

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형으로 이루어진 바둑판 모양의 도로망이 있다. 점 $\rm P$ 는 한 번 움직일 때마다 도로망을 따라 $1$만큼 이동하며, 각 갈림길에서 네 개의 방향 중 어느 방향으로도 움직일 수 있다. 점 $\rm O$ 의 위치에 있던 점 $\rm P$ 가 $6$ 번 움직인 후, 처음으로 점 $\rm O$ 로 되돌아오는 경우의 수를 구하시오. 정답 $176$