표본평균의 분포_난이도 중

각 면에 $0, \; 1, \; 2, \; 3, \; 4$ 의 숫자가 각각 $2$ 개, $4$ 개, $3$ 개, $2$ 개, $1$ 개 씩 적혀있는 정십이면체가 있다. 이 정십이면체를 $32$번 던져 바닥에 접하는 숫자들의 평균을 $\overline{X}$ 라고 할 때, ${\rm P} \left ( \overline{X} \ge k \right ) = 0.1587$ 을 만족시키는 상수 $k$ 의 값을 구하여라. (단, ${\rm P} (0 \le Z \le 1)=0.3413$ 이다.)

정답 $\dfrac{15}{8}$

정십이면체를 던져 바닥에 접하는 숫자를 확률변수 $X$ 라고 하면 $X$ 의 확률분포는 아래 표와 같다.

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
${\rm P}(X)$	$\dfrac{2}{12}$	$\dfrac{4}{12}$	$\dfrac{3}{12}$	$\dfrac{2}{12}$	$\dfrac{1}{12}$

$\therefore {\rm E}(X)=\left (0 \times \dfrac{2}{12} \right ) + \left ( 1 \times \dfrac{4}{12} \right ) + \left ( 2 \times \dfrac{3}{12} \right ) + \left ( 3 \times \dfrac{2}{12} \right ) + \left ( 4 \times \dfrac{1}{12} \right ) = \dfrac{5}{3}$

  $\begin{align} {\rm V}(X) &= {\rm E} \left (X^2 \right ) - \left \{ {\rm E}(X) \right \}^2 \\[10pt] &=\left (0^2 \times \dfrac{2}{12} \right ) + \left ( 1^2 \times \dfrac{4}{12} \right ) + \left ( 2^2 \times \dfrac{3}{12} \right ) + \left ( 3^2 \times \dfrac{2}{12} \right ) + \left ( 4^2 \times \dfrac{1}{12} \right ) - \left ( \dfrac{5}{3} \right )^2 \\[10pt] &=\dfrac{25}{18} \end{align}$

위에서 구한 기댓값과 분산은 모집단의 평균과 분산으로 생각할 수 있고, 정십이면체를 $32$ 번 던져서 나온 눈의 수들의 평균을 $\overline{X}$ 라고 할 때, $\overline{X}$ 는 모집단에서 표본을 $32$ 개 추출했을 때의 표본의 평균으로 생각할 수 있다.

$\therefore {\rm E}\left ( \overline{X} \right ) = {\rm E}(X)=\dfrac{5}{3}$ ,     ${\rm V} \left ( \overline{X} \right ) = \dfrac{{\rm V}(x)}{n} = \dfrac{\frac{25}{18}}{32} = \left ( \dfrac{5}{24} \right )^2$

따라서 $\overline{X}$ 의 분포는 정규분포 ${\rm N} \left ( \dfrac{5}{3}, \; \left (\dfrac{5}{24} \right )^2 \right )$ 을 따르게 된다.

$$\begin{align} {\rm P} \left (\overline{X} \ge k \right ) &=  {\rm P} \left ( Z \ge \dfrac{k-\dfrac{5}{3}}{\dfrac{5}{24}} \right ) \\[10pt] &= 0.5 - {\rm P} \left (0 \le Z \le \dfrac{k-\dfrac{5}{3}}{\dfrac{5}{24}} \right ) \\[10pt] &=0.1587 \end{align}$$

따라서 $ {\rm P} \left (0 \le Z \le \dfrac{k-\dfrac{5}{3}}{\dfrac{5}{24}} \right ) = 0.3413$ 이고 $\dfrac{k-\dfrac{5}{3}}{\dfrac{5}{24}} =1$ 이 된다.

$$\therefore k=\dfrac{5}{24} + \dfrac{5}{3} = \dfrac{15}{8}$$