수악중독

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 의 역함수가 존재하고, 함수 $(f \circ f)(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할때, 함수 $g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) $g(3)=1, \; g(4)=2$(나) 함수 $g(x)$ 는 $x=3$ 과 $x=4$ 에서 미분가능하지 않다. $f(5)$ 의 값을 구하시오. 정답 $30$

상수항을 포함한 모든 항의 계수가 유리수인 이차함수 $f(x)$ 가 있다. 함수 $g(x)$ 가 $$g(x)=|f'(x)|e^{f(x)}$$ 일 때, 함수 $g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=2$ 에서 극솟값을 갖는다.(나) 함수 $g(x)$ 의 최댓값은 $4\sqrt{e}$ 이다.(다) 방정식 $g(x)=4\sqrt{e}$ 의 근은 모두 유리수이다. $|f(-1)|$ 의 값을 구하시오. 정답 $71$

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$ 와 원점을 지나는 직선 $y=g(x)$ 가 양의 상수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to n} \dfrac{f(x)g(x)}{x-n}=0, \;\; \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{\{f(x)g(x)\}^{\prime}}{x^3}=4n$ (나) 함수 $|f(x)|$ 는 $x=0$ 에서만 미분가능하지 않다.(다) $f \left ( \dfrac{2n}{3} +x \right ) + f \left ( \dfrac{2n}{3}-x \right ) = \dfrac{4n^3}{27}$ 실수 전체에서 연속인 함수 $h(x)$ 가 $h(x)= \left \{ \begin{array}{ll}..

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 의 역함수 $g(x)$ 에 대하여 함수 $h(x)=g\left ( f(x)-4x \right )$ 라 하자. 두 함수 $g(x)$ 와 $h(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $|f(0)|$ 의 값은? (가) $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{g'( x)-1}{x}=0$(나) $x_1 < x_2$ 인 두 실수 $x_1, \; x_2$ 에 대하여 $h(x_1) - h(x_2)$ 가 최대일 때 $x_1x_2=8$ 이다. ① $18$ ② $21$ ③ $24$ ④ $27$ ⑤ $30$ 정답 ⑤

이차함수 $f(x)$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $$g(x)=\ln\{f(x)\}$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x) \ge \ln 2$ 이고, 어떤 실수 $x$ 에 대하여 $g(x) \le \ln 2$ 이다.(나) 방정식 $g'(x)=g' \left ( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )$ 는 오직 한 개의 실근을 갖는다.(다) 조건 '어떤 실수 $x$ 에 대하여 $g'(x)=k$ 이다.' 가 참이 되도록 하는 실수 $k$ 의 범위는 $-\sqrt{2} \le k \le \sqrt{2}$ 이다. $g(0)$ 의 최댓값을 $M$ 이라고 할 때, $e^M$ 의 값을 구하시오. 정답 $10$

최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)=f(x)e^{-f(x)}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 세 집합 $A=\{ t \; | \; f'(t)=0 \}$ $B=\{ t \; | \;$ 함수 $g(x)$ 는 $x=t \; (t -1)$ 에서 극값을 갖는다.$\}$ 에 대하여 $n(A \cap B) = n(A \cap C) = n(B) = n(C)-1$ 이며, 집합 $C$ 의 모든 원소가 자연수이고 그 합은 $5$ 이다. $f(-9)$ 의 값을 구하시오. 정답 $14$

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)1$ 인 임의의 실수 $t$ 에 대하여 네 점 $(t, \; 0)$, $(2-t, \; 0)$, $(t, \; f(t))$ , $(2-t, \; f(2-t))$ 를 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이가 $(t-1)e^t$ 이다. $\displaystyle \int_{-1}^3 f(x)\; dx$ 의 값은? ① $e-e^3 \sqrt{e}$ ② $e-e^3$ ③ $ e-e^2 \sqrt{e}$ ④ $e-e^2$ ⑤ $e-e\sqrt{e}$ 정답 ②

열린구간 $\left (- \dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{\pi}{2} \right )$ 에서 정의된 두 함수 $f(x)=\sin x$, $g(x)=2x^2+4x$ 가 있다. 합성함수 $(g \circ f)(x)$ 의 역함수를 $h(x)$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $h(0)=0$ ㄴ. $h'(0)=\dfrac{1}{4}$ ㄷ. $\lim \limits_{x \to a} \dfrac{h \left ( \cos ^2 3x \right ) -3a}{x-a}$ 의 값이 존재하도록 하는 실수 $a$ 의 개수는 $3$ 이다. ①ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

최고차항의 계수가 $-1$ 인 사차함수 $f(x)$ 와 함수 $$g(x)= \left | \; \sin |x| + \cos x + 2x - \dfrac{k}{5}\; \right |$$ 가 다음 조건을 만족한다. (가) 함수 $|f(x)+k|$ 는 한 점에서만 미분가능하지 않다. (나) 함수 $f(g(x))$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. (다) $f(g(0))=10$ 함수 $f(x)$ 의 극댓값이 $\alpha$ 또는 $\beta$ 일 때, $\alpha + \beta$ 의 값을 구하시오. 정답 $47$

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 정의역이 $\{x \; | \; x>0\}$ 인 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ 라고 정의하자. 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $f(x)$ 는 $x=2$ 에서 변곡점을 갖고 변곡점에서의 접선의 기울기는 양수이다. (나) 함수 $g(x)$ 가 극값을 갖는 서로 다른 $x$ 의 값의 개수는 $2$ 이다. $f(1)>k$ 를 만족시키는 $k$ 의 최댓값을 $M$ 이라 할 때, $M^2$ 의 값을 구하시오. (단, $f(2)>0$) 정답 $1$