무한급수_부분분수꼴_난이도 상 (2016년 3월 교육청 나형 21번)

수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 집합 $A=\{x\; | \; x^2-1 <a<x^2+2x,\; x는 \; 자연수\}$ 가 공집합이 되도록 하는 자연수 $a$ 를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$ 번째 수를 $a_n$ 이라 하자. 예를 들어, $a=3$ 은 $x^2 -1 <a< x^2 +2x$ 를 만족시키는 자연수 $x$ 가 존재하지 않는 첫 번째 수이므로 $a_1=3$ 이다. $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a_n}$ 의 값은?

① $\dfrac{1}{2}$          ② $\dfrac{3}{4}$          ③ $1$          ④ $\dfrac{5}{4}$          ⑤ $\dfrac{3}{2}$

정답  ②