도형과 무한등비급수_난이도 상 (2016년 4월 교육청 나형 20번)

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$ 인 정사각형에 내접하는 원 $O_1$ 이 있다. 정사각형과 원 $O_1$ 의 접점을 각각 $\rm A_1, \; B_1, \; C_1, \; D_1$ 이라 할 때, 원 $O_1$ 과 두 선분 $\rm A_1B_1, \; B_1C_1$ 으로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 에서 두 선분 $\rm A_1B_1, \; B_1C_1$ 을 각각 $3:1$ 로 내분하는 두 점을 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 원 $O_1$ 의 내부에 그린다. 이 정사각형에 내접하는 원을 $O_2$ 라 하고 그 접점을 각각 $\rm A_2, \; B_2, \; C_2, \; D_2$ 라 할 때, 원 $O_2$ 와 두 선분 $\rm A_2B_2, \; B_2C_2$ 로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라고 하자.

그림 $R_2$ 에서 두 선분 $\rm A_2B_2, \; B_2C_2$ 을 각각 $3:1$ 로 내분하는 두 점을 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형에 그림 $R_1$ 에서 그림 $R_2$ 를 얻는 것과 같은 방법으로 만들어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_3$ 라고 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 의 값은?

① $\dfrac{32}{11}(\pi-2)$          ② $\dfrac{34}{11}(\pi-2)$          ③ $\dfrac{36}{11}(\pi-2)$          ④ $\dfrac{32}{11}(\pi-1)$          ⑤ $\dfrac{34}{11}(\pi-1)$       

정답  ①