도형과 무한등비 급수_난이도 중 (2016년 3월 교육청 나형 18번)

한 변의 길이가 $4$ 인 정사각형이 있다. 그림과 같이 지름이 $2$ 인 두 원이 서로 한 점 $\rm P_1$ 에서 만나고 정사각형의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 $\rm Q_1$ 이라 하고, 선분 $\rm P_1Q_1$ 을 대각선으로 하는 정사각형 $R_1$ 을 그린다. 이때, $R_1$ 의 한 변의 길이를 $l_1$ 이라 하자.

지름이 $\dfrac{l_1}{2}$ 인 두 원이 서로 한 점 $ \rm P_2$ 에서 만나고 정사각형 $R_1$ 의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형 $R_1$ 의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 $Q_2$ 라 하고, 선분 $\rm P_2Q_2$ 를 대각선으로 하는 정사각형 $R_2$ 를 그린다. 이때, $R_2$ 의 한 변의 길이를 $l_2$ 라 하자.

지름이 $\dfrac{l_2}{2}$ 인 두 원이 서로 한 점 $\rm P_3$ 에서 만나고 정사각형 $R_2$ 의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형 $R_2$ 의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 $Q_3$ 이라 하고, 선분 $\rm P_3Q_3$ 을 대각선으로 하는 정사각형 $ R_3$ 을 그린다. 이때, $R_3$ 의 한 변의 길이를 $l_3$ 이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 그린 정사각형 $R_n$ 의 한 변의 길이를 $l_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} l_n$ 의 값은?

① $\dfrac{12 \left( 3+ 4\sqrt{2} \right )}{23}$          ② $\dfrac{24 \left( 2+ \sqrt{2} \right )}{23}$          ③ $\dfrac{12 \left( 1+ 4\sqrt{2} \right )}{23}$          ④ $\dfrac{3 \left( 3+ 2\sqrt{2} \right )}{7}$          ⑤ $\dfrac{3 \left( 3+ \sqrt{2} \right )}{7}$

정답 ①