수악중독

두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 이 $\lim \limits_{n \to \infty}na_n=1, \quad \lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{b_n}{n}=3$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{n^2a_n+b_n}{1+2b_n}$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{3}$ ② $\dfrac{1}{2}$ ③ $\dfrac{2}{3}$ ④ $\dfrac{5}{6}$ ⑤ $1$ 더보기 정답 ③

수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $2n+3 < a_n < 2n+4$ 를 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{(a_n +1)^2 +6n^2}{na_n}$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ⑤

수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{n+1}-a_n = a_1 +2$ 를 만족시킨다. $\lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{2a_n+n}{a_n -n +1}=3$ 일 때, $a_{10}$ 의 값은? (단, $a_1 >0$) ① $35$ ② $36$ ③ $37$ ④ $38$ ⑤ $39$ 더보기 정답 ④

$a_1=3, \; a_2=6$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 과 모든 항이 양수인 수열 $\{b_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\sum \limits_{k=1}^n a_k (b_k)^2=n^3-n+3$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_nb_{2n}}$ 의 값은? ① $\dfrac{3}{2}$ ② $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ ③ $3$ ④ $3\sqrt{2}$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ②

자연수 $n$ 에 대하여 직선 $y=2nx$ 가 곡선 $y=x^2+n^2-1$ 과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{A}_n, \; \mathrm{B}_n$ 이라 하자. 원 $(x-2)^2+y^2=1$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 삼각형 $\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{P}$ 의 넓이가 최대가 되도록 하는 점 $\mathrm{P}$ 를 $\mathrm{P}_n$ 이라 할 때, 삼각형 $\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{P}_n$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 하자. $\lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{S_n}{n}$ 의 값은? ① $2$ ② $4$ ③ $6$ ④ $8$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ③

자연수 $n$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $f(x)=\dfrac{4}{n^3} x^3 +1$ 이라 하자. 원점에서 곡선 $y=f(x)$ 에 그은 접선을 $l_n$, 접선 $l_n$ 의 접점을 $\mathrm{P}_n$ 이라 하자. $x$ 축과 직선 $l_n$ 에 동시에 접하고 점 $\mathrm{P}_n$ 을 지나는 원 중 중심의 $x$ 좌표가 양수인 것을 $C_n$ 이라 하자.원 $C_n$ 의 반지름의 길이를 $r_n$ 이라 할 때, $40 \times \lim \limits_{n \to \infty} n^2 (4r_n-3)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $270$

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 자연수 $m$ 에 대하여 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 정의된 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{f(x)\left (\dfrac{x}{m} \right )^n +x}{\left (\dfrac{x}{m} \right )^n+1}$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 는다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 미분가능하고, $g'(m+1) \le 0$ 이다. (나) $g(k)g(k+1)=0$ 을 만족시키는 자연수 $k$ 의 개수는 $3$ 이다. (다) $g(l) \ge g(l+1)$ 을 만족시키는 자연수 $l$ 의 개수는 $3$ 이다...

초점이 $\mathrm{F}$ 인 포물선 $y^2=20x$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{PF}}=15$ 일 때, 점 $\mathrm{P}$ 의 $x$ 좌표는? ① $9$ ② $10$ ③ $11$ ④ $12$ ⑤ $13$ 더보기 정답 ②

두 초점이 $x$ 축 위에 있고, 두 초점 사이의 거리가 $30$ 인 쌍곡선의 한 점근선의 방정식이 $y=\dfrac{3}{4}x$ 일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는? ① $16$ ② $18$ ③ $20$ ④ $22$ ⑤ $24$ 더보기 정답

두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 포물선 $C:(y-a+1)^2=(a+b)x+1 \; (\text{단, } a+b \ne 0)$ 이 있다. 포물선 $C$ 가 원점을 지나고 초점과 준선 사이의 거리가 $2$ 일 때, $a-b$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 하자. $M-m$ 의 값은? ① $6$ ② $8$ ③ $10$ ④ $12$ ⑤ $14$ 더보기 정답