수악중독

두 함수 $f(x)=2x^2+2x-1, \; g(x)=\cos \dfrac{\pi}{3}x$ 에 대하여 $0 \le x < 12$ 에서 방정식 $f(g(x))=g(x)$ 를 만족시키는 모든 실수 $x$ 의 값의 합을 구하시오. 더보기 정답 $36$

$a>2$ 인 실수 $a$ 에 대하여 기울기가 $-1$ 인 직선이 두 곡선 $y=a^x+2, \quad y=\log_a x +2$ 와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A, \; B}$ 라 하자. 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 원의 중심의 $y$ 좌표가 $\dfrac{19}{2}$ 이고 넓이가 $\dfrac{121}{2}\pi$ 일 때, $a^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $13$

함수 $f(x)=\left | x^3 -3x +8 \right |$ 과 실수 $t$ 에 대하여 닫힌구간 $[t, \; t+2]$ 에서의 $f(x)$ 의 최댓값을 $g(t)$ 라 하자. 서로 다른 두 실수 $\alpha, \; \beta$ 에 대하여 함수 $g(t)$ 는 $t=\alpha$ 와 $t=\beta$ 에서만 미분가능하지 않다. $\alpha \beta=m+n\sqrt{6}$ 일 때, $m+n$ 의 값을 구하시오. (단, $m, \; n$ 는 정수이다.) 더보기 정답 $2$

숫자 $1, \; 2, \; 3$ 중에서 중복을 허락하여 $4$ 개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 네 자리 자연수 중 홀수의 개수는? ① $30$ ② $36$ ③ $42$ ④ $48$ ⑤ $54$ 더보기 정답 ⑤ $3 \times 3 \times 3 \times 2 = 54$

남학생 $5$ 명, 여학생 $2$ 명이 있다. 이 $7$ 명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 모두 둘러앉을 때, 여학생끼리 이웃하여 앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) ① $200$ ② $240$ ③ $280$ ④ $320$ ⑤ $360$ 더보기 정답 ② 여학생을 한 묶음으로 보면 총 6명을 원탁에 앉히는 것으로 생각할 수 있다. 경우의 수 = $5!$ 여학생들끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 $2!$ㄹ 따라서 구하는 경우의 수는 $5! \times 2! = 240$

그림과 같이 직사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로망을 따라 $\mathrm{A}$ 지점에서 출발하여 $\mathrm{B}$ 지점까지 최단거리로 갈 때, $\mathrm{P}$ 지점을 지나면서 $\mathrm{Q}$ 지점을 지나지 않는 경우의 수는? ① $72$ ② $81$ ③ $90$ ④ $99$ ⑤ $108$ 더보기 정답 ④

그림과 가이 문자 $\mathrm{A, \; A, \; A, \; B, \; B, \; C, \; D}$ 가 각각 하나씩 적혀 있는 $7$ 장의 카드와 $1$ 부터 $7$ 까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 $7$ 개의 빈 상자가 있다. 각 상자에 한 장의 카드만 들어가도록 $7$ 장의 카드를 나누어 넣을 때, 문자 $\mathrm{A}$ 가 적혀 있는 카드가 들어간 $3$ 개의 상자에 적힌 수의 합이 홀수가 되도록 나누어 넣는 경우의 수는? (단, 같은 문자가 적힌 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.) ① $144$ ② $168$ ③ $192$ ④ $216$ ⑤ $240$ 더보기 정답 ③

다음 조건을 만족시키는 자연수 $a, \; b, \; c$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c)$ 의 개수는? (가) $ab^2c=720$ (나) $a$ 와 $c$ 는 서로소가 아니다. 더보기 정답 $42$

세 명의 학생에게 서로 다른 종류의 초콜릿 $3$ 개와 같은 종류의 사탕 $5$ 개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 사탕을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.) (가) 적어도 한 명의 학생은 초콜릿을 받지 못한다. (나) 각 학생이 받는 초콜릿의 개수와 사탕의 개수의 합은 $2$ 이상이다. 더보기 정답 $117$

집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f:X \to X$ 의 개수를 구하시오. (가) $f(1) \le f(2) \le f(3)$ (나) $1