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수악중독
함수 \(f(x)\) 가 임의의 두 실수 \(x, \;y\) 에 대하여 \[f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy-1\] 을 만족시킨다. 함수 \(f(x)\) 가 \(x=0\) 에서 연속일 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(f(0)=1\) ㄴ. 함수 \(f(x)\) 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. ㄷ. 방정식 \(f(x)=0\) 은 구간 \((-1, \;1)\) 에서 적어도 하나의 실근을 가진다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
그림과 같이 중심이 \(\rm O\) 이고 반지름의 길이가 \(1\) 인 원이 있다. 이 원에 내접하는 반지름의 길이가 \(\dfrac{1}{n}\) 인 원 \(\rm O_1\) 을 그리고, 중심 \(\rm O\) 에서 원 \(\rm O_1\) 에 그은 두 접선이 이루는 예각의 크기를 \(\theta_n\) 이라 하자. \(\lim \limits_{n \to \infty} \left ( \dfrac{14n^2 +1}{2n+1} \right ) \theta_n \) 의 값을 구하시오. (단, \(n>3\)) 정답 \(14\)
원기둥 모양의 수도관에서 단면인 원의 넓이를 \(S\), 원의 둘레의 길이를 \(L\) 이라 하고, 수도관의 기울기를 \(I\) 라 하자. 이 수도관에서 물이 가득 찬 상태로 흐를 때 물의 속력을 \(v\) 라 하면 \[ v=c \left ( \dfrac{S}{L} \right ) ^{\frac{2}{3}} \cdot I^{\frac{1}{2}}\;\;(단, \; c는 \; 상수이다.)\] 이 성립한다고 한다. 단면인 원의 반지름의 길이가 각각 \(a, \;b\) 인 원기둥 모양의 두 수도관 \(\rm A, \;B\) 에서 물이 가득 찬 상태로 흐르고 있다. 두 수도관 \(\rm A, \;B\) 의 기울기가 각각 \(0.01,\; 0.04\) 이고, 흐르는 물의 속력을 각각 \(V_{\rm a}, \; ..
육안으로 본 별의 밝기를 겉보기 등급, 그 별이 \(10(\rm pc)\) 의 거리에 있다고 가정했을 떄의 밝기를 절대 등급이라 한다. 어떤 별이 지구로부터 \(r(\rm pc)\) 만큼 떨어져 있을 때 겉보기 등급 \(m\) 과 절대 등급 \(M\) 은 \[\left ( \dfrac{r}{10} \right )^2 = 100^{\frac{1}{5}(m-M)}\] 을 만족한다. '데네브'라는 별은 지구로부터 \(10^{2.7} (\rm pc)\) 만큼 떨어져 있고, 겉보기 등급은 \(1.3\) 이다. 이 별의 절대 등급은? (단, \(\rm pc\) 는 거리를 나타내는 단위이다.) ① \(-3.6\) ② \(-4.8\) ③ \(-6.0\) ④ \(-7.2\) ⑤ \(-8.4\) 정답 ④
\(3^{x-1} +3^y = 3^{x+y} \) 에서 \(y=f(x)\) 라 할 때, \( \left | \lim \limits_{x \to \infty} f(x) \right | \) 의 값을 구하여라. 정답 \(1\)
이차정사각행렬 \(A\) 에 대하여 두 집합 \[P=\{ (x,\; y) \;| \;2ax+4y=2\; 이고 \; x+2ay=-1 \}\] \[Q= \left \{ (x,\;y) \; | \; (A-3E) \left ( \matrix{x \\ y} \right ) = \left ( \matrix{3 \\ -6} \right ) \right \} \] 이 각각 무한집합이고 \(P=Q\) 일 때, 행렬 \(A\) 의 모든 성분의 합을 구하시오. 정답 \(3\)
\(x,\;y\) 에 대한 연립방정식 \(\left ( \matrix{k-2 & 2 \\ 3 & k-1} \right ) \left ( \matrix{x \\ y} \right ) = \left ( \matrix{0 \\ 0} \right ) \) 이 \(xy>0\) 인 해를 갖도록 하는 상수 \(k\) 의 값은? ① \(-2\) ② \(-1\) ③ \(1\) ④ \(2\) ⑤ \(4\) 정답 ②
갑은 절약하는 습관을 기르기 위하여 연초부터 가계부를 적기로 하였다. 1월의 외식비와 의류규입비를 합하여 보니 \(30\) 만원이었다. 매달 외식비와 의류구입비를 지난달에 비해 각각 \(20%, \; 30%\) 씩 줄였더니 \(2\) 개월 후에는 외식비와 의류구입비의 합이 \(15\) 만원 절감되었다. \(1\) 월의 외식비를 \(x\) 만원, 의류구입비를 \(y\) 만원이라 하면 \(\left ( \matrix{x \\ y} \right ) = A \left ( \matrix {30 \\ 15} \right )\)이다. 행렬 \(A\) 의 \((2, \;1)\) 성분이 \(\dfrac{b}{a}\) 일 때, \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(a, \;b\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \..
그림과 같이 길이가 \(2\) 인 선분 \(\rm AB\) 를 지름으로 하는 반원 위에 두 점 \(\rm P, \;Q\) 를 \(\angle \rm ABP= \angle \rm BAQ =\theta \;\; \left ( 0