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수악중독
역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬 \(A, \;B\) 가 \[(A+E)(B+E)=E, \;\; B(B+E)=A\] 를 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, \(E\) 는 단위행렬이다.) ㄱ. \(A^2 +A=B\) ㄴ. \(A^2 +B^2 =O\) (단, \(O\) 는 영행렬이다.) ㄷ. \(A^{-1}=2B\) ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②
역행렬을 가지는 두 이차정사각행렬 \(A, \; B\) 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? (단, \(E\) 는 단위행렬이다.) ㄱ. \(ABA=E\) 이면 \(AB=BA\) 이다. ㄴ. \(A^{-1}+B^{-1}=E\) 이면 \(AB=BA\) 이다. ㄷ. \(AB=BA\) 이면 \(A^{-1} \left (B+B^{-1} \right ) A=B+B^{-1}\) 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
\(x, \;y\) 에 대한 연립일차방정식 \[ \left ( \matrix {a & 1 \\ a & 5} \right ) \left ( \matrix {x \\ y} \right ) = \left ( \matrix{4a \\ a^2} \right )\] 에 대하여 \(y \leq 0\) 인 해가 존재하도록 하는 모든 정수 \(a\) 의 개수를 구하시오. 정답 \(5\)
실수 \(a, \;b\) 에 대하여 행렬 \[ \left ( \matrix { x^2+2x+a^2+b^2 & x+1 \\ x-1 & 2} \right ) \] 이 역행렬을 갖지 않도록 하는 실수 \(x\) 가 존재할 때, 점 \((a, \;b)\) 가 그리는 영역의 넓이는? ① \(\dfrac{1}{2} \pi\) ② \(\pi\) ③ \(\dfrac{3}{2} \pi\) ④ \(2 \pi\) ⑤ \(\dfrac{5}{2} \pi\) 정답 ③
다음 조건을 만족시키는 이차정사각행렬 \(A\) 의 개수를 구하시오. (가) 행렬 \(A\) 는 역행렬을 갖지 않는다.(나) 행렬 \(A\) 의 성분은 집합 \(\{1, \;2,\;3\}\) 의 원소이다. 정답 \(15\)
두 이차정사각행렬 \(A, \;B\) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(A^2 = 2A+E\)(나) \( AB=2E\)(다) 행렬 \(A\) 의 모든 성분의 합은 \(7\) 이다. 행렬 \(B\) 의 모든 성분의 합은? (단, \(E\) 는 단위행렬이다.) ① \(6\) ② \(7\) ③ \(8\) ④ \(9\) ⑤ \(10\) 정답 ①
이차정사각행렬 \(A, \;B\) 가 \[A^2 +B^2 = \left ( \matrix{5 & 0 \\ \frac{3}{2} & 1} \right ) , \;\; AB+BA= \left ( \matrix { -4 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0} \right ) \] 을 만족시킬 때, 행렬 \((A+B)^{100}\) 의 모든 성분의 합을 구하시오. 정답 \(52\)
두 이차정사각행렬 \(A, \; B\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(A \left ( \matrix {1 \\ 1} \right ) = B \left ( \matrix {3 \\ 3} \right ) \) (나) \(A^2 -3AB+B^2 = E\) \(BA \left ( \matrix {5 \\5 } \right ) = \left ( \matrix{p \\q} \right ) \) 라 할 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. 정답 \(30\)
\(\overline{\rm AB}=1, \; \angle {\rm A}=2 \theta, \; \angle {\rm C}= \theta \; \left ( 0< \theta < \dfrac{\pi}{6} \right )\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 에 대하여 선분 \(\rm AB\) 의 연장선 위의 점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고 두 점 \(\rm B, \;C\) 를 지나는 반원을 그린다. 직선 \(\rm AC\) 가 반원과 만나는 점 중에서 \(\rm C\) 가 아닌 점을 \(\rm P\) 라 할 때, \(\rm P\) 와 직선 \(\rm BC\) 사이의 거리를 \(l(\theta)\) 라 하자. \[ \lim \limits_{\theta \to \frac{\pi}{6} -0} \lef..