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수악중독
그림과 같이 정사각형 \(\rm ABCD\) 의 두 꼭짓점 \(\rm A, \;C\) 는 \(y\) 축 위에 있고, 두 꼭짓점 \(\rm B, \;D\) 는 \(x\) 축 위에 있다. 변 \(\rm AB\) 와 변 \(\rm CD\) 가 각각 삼차함수 \(y=x^3 -5x\) 의 그래프에 접할 때, 정사각형 \(\rm ABCD\) 의 둘레의 길이를 구하시오. 정답 \(32\)
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\) 와 이계도함수를 갖는 함수 \(g(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 등식 \[g''(x)=|\sin x|f(x)\] 를 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 점 \((0, \;g(0))\) 이 곡선 \(y=g(x)\) 의 변곡점이면 \(f(0)=0\) 이다. ㄴ. 점 \((0,\; g(0))\) 이 곡선 \(y=g(x)\) 의 변곡점이면 함수 \(g''(x)\) 는 \(x=0\) 에서 미분가능하다. ㄷ. 함수 \(g''(x)\) 가 \(x=0\) 에서 미분가능하면 점 \((0,\; g(0))\) 은 곡선 \(y=g(x)\) 의 변곡점이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
함수 \(f(x)=x^3+6x^2+15|x-2a|+3\) 이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 \(a\) 의 최댓값은? ① \(-\dfrac{5}{2}\) ② \(-2\) ③ \(-\dfrac{3}{2}\) ④ \(-1\) ⑤ \(-\dfrac{1}{2}\) 정답 ①
그림과 같이 \(y=\log_2 x , \; x=30,\;y=0\) 으로 둘러싸인 영역에 한 변의 길이가 \(1\) 인 정사각형을 서로 겹치지 않게 그리려고 한다. 이때, 그릴 수 있는 한 변의 길이가 \(1\) 인 정사각형의 최대 개수를 구하시오. (단, 정사각형의 각 변은 \(x\) 축, \(y\) 축에 평행하다.) 정답 \(90\)
양의 실수 \(x\) 에 대하여 \(\log x\) 의 지표와 가수를 각각 \(f(x), \; g(x)\) 라 하자. 자연수 \(n\) 에 대하여 \(f(x)-(n+1)g(x)=n\) 을 만족시키는 모든 \(x\) 의 값의 곱을 \(a_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\log a_n}{n^2}\) 의 값은? ① \(1\) ② \(\dfrac{3}{2}\) ③ \(2\) ④ \(\dfrac{5}{2}\) ⑤ \(3\) 정답 ②
자연수 \(n\) 에 대하여 \(f(n)\) 이 다음과 같다. \[f\left( n \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{{{\log }_3}n}&{\left( {n이\; 홀수} \right)}\\{{{\log }_2}n}&{\left( {n이\;짝수} \right)}\end{array}} \right.\] \(20\) 이하의 두 자연수 \(m,\;n\) 에 대하여 \(f(mn)=f(m)+f(n)\) 을 만족시키는 순서쌍 \((m, \;n)\) 의 개수는? ① \(220\) ② \(230\) ③ \(240\) ④ \(250\) ⑤ \(260\) 정답 ①
양수 \(x\) 에 대하여 \(\log x\) 의 지표와 가수를 각각 \(f(x),\; g(x)\) 라 하자. 두 등식 \[f(a)=f(b)+2,\;\; g(a)=g(b)-\log 3\] 을 만족시키는 두 양수 \(a, \;b\) 에 대하여 \(3a+\dfrac{25}{b}\) 의 최솟값을 구하시오. 정답 \(100\)
다음 두 조건을 동시에 만족시키는 자연수 \(x\) 의 개수를 구하시오. (단, \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) (가) \(200 \leq x \leq 300\) (나) \([\log_2 x]= [\log_3 x] +[\log _4 x]\) 정답 \(43\)
실수 전체의 집합에서 양의 실수의 집합으로 대응되는 함수 \(f(x)\) 가 임의의 실수 \(a, \;b\) 에 대하여 \(f(ab)={f(b)}^a\) 을 만족할 때, \(f \left ( \dfrac{1}{2} \right ) + f \left ( \dfrac{1}{3} \right ) + f \left ( \dfrac{1}{6} \right ) \) 의 값은? (단, \(f(1)=64\) ) ① \(12\) ② \(13\) ③ \(14\) ④ \(15\) ⑤ \(16\) 정답 ③