$0$이 아닌 정수 $a$와 유리수 $b$ $\left (b > \dfrac{4}{a} \right )$에 대하여 함수 $f(x)$를 $$f(x) = \begin{cases} \left| \dfrac{ax-4}{x-b} \right| & (x < \dfrac{4}{a} \text{ 또는 } x > b) \\ ax^{2}-4bx & (\dfrac{4}{a} \le x \le b) \end{cases}$$ 라 하자. 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시키도록 하는 $a, b$의 모든 순서쌍이 $(a_{1}, b_{1}), (a_{2}, b_{2})$일 때, $a_{1} \times b_{1} \times a_{2} \times b_{2}$의 값을 구하시오. $
(가) 함수 $f(x)$는 일대일함수이다. (나) $y$에 대한 방정식 $f(x)=k$의 해가 존재하지 않도록 하는 양수 $k$의 값을 $p$라 하고, 함수 $f(x)$의 최솟값을 $m$이라 할 때, $p \times m = -64$이다.
