수열의 합과 일반항과의 관계_난이도 중 (2026년 3월 고3 12번)

 

 

$a_{1}=3, a_{2}=10$ 인 수열 $\{a_{n}\}$ 과 모든 항이 양수인 등비수열 $\{\mathrm{b}_{n}\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여
$$\sum_{k=1}^{n} \dfrac{a_{k}}{\mathrm{b}_{k}+1} = n^{2}+n$$
을 만족시킨다. 다음은 $\displaystyle {\sum_{n=1}^{5} \dfrac{a_{n}}{n}}$ 의 값을 구하는 과정이다.

 

$n=1$ 일 때 $\dfrac{a_{1}}{\mathrm{b}_{1}+1}=2$ 에서 $\mathrm{b}_{1}=\dfrac{1}{2}$ 이다.
$2$ 이상의 모든 자연수 $n$ 에 대하여
$\dfrac{a_{n}}{b_{n}+1} = \displaystyle {\sum_{k=1}^{n} \dfrac{a_{k}}{\mathrm{b}_{k}+1} - \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{a_{k}}{\mathrm{b}_{k}+1}}$ 이므로
$\dfrac{a_{n}}{b_{n}+1} = \text{(가)} \times n$ 이다.
$n=1$ 일 때도 이 성립하므로 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\dfrac{a_{n}}{n} = \text{(가)} \times (\mathrm{b}_{n}+1)$ 이다.
그러므로 등비수열 $\{b_{n}\}$ 의 공비는 (나) 이다.
따라서 에 의하여 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{5} \dfrac{a_{n}}{n}} = \text{(다)}$ 이다.

 

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p, q, r$ 이라 할 때, $p+q+r$ 의 값은? 

① $136$          ② $137$          ③ $138$          ④ $139$          ⑤ $140$

 

정답 ①