함수 $f(x)=x^{2}+5$ 가 있다. 두 자연수 $p, q$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}px^{2}+\dfrac{1}{2}qx+5 & (x < 0) \\[7pt] 5 & (x \ge 0) \end{cases}$$ 이라 하자. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $h(x) = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \dfrac{(f(x))^{2n+1} + 5^{2n} \times g(x)}{(f(x))^{2n} + 5^{2n}}}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수의 개수가 $7$ 이다. 자연수 $k$ 에 대하여 직선 $y=\left (k-\dfrac{1}{2^{n}} \right )x+5$ 가 함수 $y=h(x)$ 의 그래프와 만나는 점의 개수를 $a_{n}$ 이라 할 때, $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} a_{n} }= 4$ 이다. $p+q+h(4)$ 의 값은?
