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미분계수와 도함수 본문
평균변화율과 순간변화율
미분계수
도함수
곱의 미분법
$ r(x)=f(x)g(x)$일 때, $$r'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$
먼저 도함수의 정의를 이용하여 \(r'(x)\) 를 표현해 보자.
이제 $r(x)$ 를 모두 $f(x)g(x)$로 바꾸고 식을 약간 변형해 보자.
$$\begin{aligned} r'(x) &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\ &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)g(x+h)-g(x+h)f(x) + g(x+h)f(x) - f(x)g(x)}{h} \\ &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{ \{ f(x+h)-f(x) \} \cdot g(x+h) + f(x) \cdot \{ g(x+h)-g(x) \} }{h} \\ &= \lim \limits_{h \to 0} \left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot g(x+h) \right \} + f(x) \cdot \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \end{aligned}$$
이때, $\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x)$, $\lim \limits_{h \to 0} g(x+h) = g(x)$, $\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x)$ 이므로
$$\begin{aligned} r'(x) &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot \lim \limits_{h \to 0} g(x+h) + f(x) \cdot \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \\[10pt] &= f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \end{aligned}$$
이 된다.
-- 평균변화율과 미분계수 관련 예제 --
-- 도함수 관련 예제 --