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미분계수와 도함수 본문

(9차) 미적분 I 개념정리

미분계수와 도함수

수악중독 2017. 1. 25. 23:40

평균변화율과 순간변화율




미분계수





도함수






곱의 미분법




 $ r(x)=f(x)g(x)$일 때, $$r'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$


먼저 도함수의 정의를 이용하여 \(r'(x)\) 를 표현해 보자.

$$r'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{r(x+h)-r(x)}{h}$$

이제 $r(x)$ 를 모두 $f(x)g(x)$로 바꾸고 식을 약간 변형해 보자.


$$\begin{aligned} r'(x) &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\ &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)g(x+h)-g(x+h)f(x) + g(x+h)f(x) - f(x)g(x)}{h} \\ &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{ \{ f(x+h)-f(x) \} \cdot g(x+h) + f(x) \cdot \{ g(x+h)-g(x) \}  }{h}  \\ &= \lim \limits_{h \to 0} \left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot g(x+h) \right \} + f(x) \cdot \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}  \end{aligned}$$


이때,  $\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x)$,   $\lim \limits_{h \to 0} g(x+h) = g(x)$,   $\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x)$ 이므로

 $$\begin{aligned} r'(x) &= \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot \lim \limits_{h \to 0} g(x+h) + f(x) \cdot \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \\[10pt] &= f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \end{aligned}$$

이 된다. 



-- 평균변화율과 미분계수 관련 예제 --


미분계수의 정의_난이도 하

미분계수의 정의_난이도 하

미분계수의 정의_난이도 하

미분계수_난이도 하

미분계수_난이도 하

미분계수_난이도 하


평균변화율_난이도 중

평균변화율과 미분계수_난이도 중

미분계수_난이도 중

미분계수의 정의_난이도 중

평균변화율과 미분계수_난이도 상

미분계수_난이도 상

미분계수_난이도 상


-- 도함수 관련 예제 --


곱의 미분법_난이도 중

곱의 미분법_난이도 중

곱의 미분법_난이도 중

곱의 미분법_난이도 중

곱의 미분법_난이도 중

곱의 미분법_난이도 상

곱의 미분법_난이도 상

곱의 미분법_난이도 상








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