수악중독

행렬 \(A=\left ( \matrix{0 & 1 \\ -1 & 1} \right )\) 에 대하여 자연수 \(m,\;n\) 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(A^m=A^n\) (나) \(m,\; n\) 은 \(100\) 이하의 서로 다른 자연수이다. \( |m-n|\) 의 최댓값을 \(p\), 최솟값을 \(q\) 라 할 때, \(p+q\) 의 값을 구하여라. 정답 \(102\)

행렬 \(A=\left ( \matrix{1 & 1 \\ 2 & 2} \right )\) 에 대하여 행렬 \(A^n\) 의 모든 성분의 합을 \(f(n)\) 이라 하자. \(\sum \limits_{n=1}^{10} f(n)\) 의 값은? ① \(3^{11}+3\) ② \(3^{11}\) ③ \(3^{11}-3\) ④ \(3^{10}+3\) ⑤ \(3^{10}-3\) 정답 ③

행렬 \(A = \left ( \matrix { 3 & 1 \\ -3 & -1} \right ) \) 일 때, \(A^{10}=kA\) 를 만족하는 실수 \(k\) 의 값을 구하시오. 정답 \(512\)

이차정사각행렬 \(A\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(A^3+E=O\) (나) \(A+E\) 의 역행렬이 존재한다. 행렬 \((A-E)^{60}\) 의 모든 성분의 합을 구하시오. (단, \(E\) 는 단위행렬이다.) 정답 \(2\)

단위행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 \(A,\;B\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(A, \;B\) 는 모두 역행렬을 가진다. (나) \(BAB=E,\; ABA=A^{-1}\) \(A^n=E\) 가 성립하는 자연수 \(n\) 의 최솟값은? (단, \(E\) 는 단위행렬이다.) ① \(3\) ② \(4\) ③ \(5\) ④ \(6\) ⑤ \(7\) 정답 ③

두 행렬 \(A= \left ( \matrix { 1 & -1 \\ 1 & 1} \right ) ,\; B= \left ( \matrix {-1 & 0 \\ 0 & 3} \right )\) 에 대하여 \[P=ABA^{-1},\;\; (P+tE)^n=16E\] 가 성립할 때, 자연수 \(n\) 과 실수 \(t\) 의 곱 \(nt\) 의 값은? (단, \(E\) 는 단위행렬이다.) ① \(-4\) ② \(-2\) ③ \(2\) ④ \(4\) ⑤ \(6\) 정답 ①

이차정사각행렬 \(A, \;B\) 가 \[A^2 +B^2 = \left ( \matrix{5 & 0 \\ \frac{3}{2} & 1} \right ) , \;\; AB+BA= \left ( \matrix { -4 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0} \right ) \] 을 만족시킬 때, 행렬 \((A+B)^{100}\) 의 모든 성분의 합을 구하시오. 정답 \(52\)

두 이차정사각행렬 \(A, \; B\) 가 \[ (AB)^4 = 3E, \;\; A^2 =2E-A\] 를 만족시킬 때, 행렬 \(\left ( A^2 BA + A^2 B \right ) ^{20}\) 의 모든 성분의 합은 \(2^a \times 3^b\) 이다. \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(a, \; b\) 는 자연수이다.) 정답 \(26\)

모든 성분이 \(0\) 또는 자연수로 이루어진 이차정사각행렬 \(A\) 가 \(A^2 = \left ( \matrix {3 & 2 \\ 1&2} \right ) \) 를 만족시킨다. 행렬 \(A^n \; (n=1,\;2,\;3,\; \cdots)\) 의 모든 성분의 합을 \(a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{k=1}^{9} a_k\) 의 값은? ① \(2020\) ② \(2028\) ③ \(2036\) ④ \(2044\) ⑤ \(2052\) 정답 ④

두 이차정사각행렬 \(A, \; B\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(A(E+B)=E\) (나) \(AB-BA=A+B\) 다음 중 행렬 \((AB)^{20}\) 과 항상 같은 것은? (단, \(E\) 는 단위행렬이다.) ① \(-E\) ② \(20E\) ③ \(-A\) ④ \(A\) ⑤ \(20A\) 정답 ③