수악중독

수직선 위에서 움직이는 두 점 \(\rm P, \; Q\) 가 있다. 출발한 지 \(t\) 초 후 두 점 \(\rm P,\; Q\) 의 위치가 각각 \( x_1 (t) = kt,\;\; x_2 (t)=t^3 -3t^2 +27\) 일 때, 점 \(\rm P, \;Q\) 가 적어도 한 번 만나게 되는 상수 \(k\) 의 최솟값을 구하시오. 정답 9

그림과 같이 삼차함수 \(f(x)=-x^3 +4x^2 -3x\) 의 그래프 위의 점 \(\left ( a,\; f(a) \right ) \) 에서 기울기가 양의 값인 접선을 그어 \(x\) 축과 만나는 점을 \(\rm A\), 점 \({\rm B}(3,\;0)\) 에서 접선을 그어 두 접선이 만나는 점을 \(\rm C\), 점 \(\rm C\) 에서 \(x\) 축에 수선을 그어 만나는 점을 \(\rm D\) 아 하고, \(\overline{\rm AD} : \overline{\rm DB} = 3:1\) 일 때, \(a\) 의 값들의 곱은? ① \(\dfrac{1}{3}\) ② \(\dfrac{2}{3}\) ③ \(1\) ④ \(\dfrac{4}{3}\) ⑤ \(\dfrac{5}{3}\) 정답 ⑤

삼차함수 \(f(x)=x(x-1)(ax+1)\) 의 그래프 위의 점 \(\rm P(1,\;0)\) 을 접점으로 하는 접선을 \(l\) 이라 하자. 직선 \(l\) 에 수직이고 점 \(\rm P\) 를 지나는 직선이 곡선 \(y=f(x)\) 와 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 \(a\) 값의 범위는? ① \(-1

함수 \(f(x)\) 에 대하여 \(f'(x)=(x-1)^3\) 이다 함수 \(f(x)\) 의 극값을 \(M\), 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프 위의 두 점 \({\rm A}(0,\; f(0)), \; {\rm B}(2, \; f(2))\) 에서 접하는 두 접선의 교점의 \(y\) 좌표를 \(N\) 이라 할 때, \(16(M-N)\) 의 값을 구하시오. 정답 12

이차함수 \(y=f(x)\) 의 그래프 위의 한 점 \((a,\; f(a))\) 에서의 접선의 방정식을 \(y=g(x)\) 라 하자. \(h(x)=f(x)-g(x)\) 라 할 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(h(x_1 )=h(x_2 ) \) 를 만족시키는 서로 다른 두 실수 \(x_1 ,\; x_2\) 가 존재한다. ㄴ. \(h(x)\) 는 \(x=a\) 에서 극소이다. ㄷ. 부등식 \(\left | h(x) \right | < \dfrac{1}{100}\) 의 해는 항상 존재한다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄷ 정답 ⑤

다음 그림과 같이 물체 \(\rm P\) 는 원점 \(\rm O\) 에서 \(100 \rm m\) 떨어진 지점 \(\rm A\) 를 항하여 움직이고, 물체 \(\rm Q\) 는 \(\rm A\) 에서 원점 \(\rm O\) 를 향하여 움직이고 있다. \(t\) 초 후의 두 물체 \(\rm P, \;Q\) 의 위치 \(f(t),\;g(t)\) 는 각각 \(f(t)=at,\; g(t)=t^3 -6t^2 +100\) 이다. 물체 \(\rm Q\) 가 움직이는 동안 물체 \(\rm P\) 와 한 번만 만난다고 할 때, 상수 \(a\) 의 값을 구하시오. 정답 15

포물선 \(y=x^2\) 위에 세 점 \({\rm O}(0,\;0),\;{\rm A} \left ( a, \; a^2 \right ), \; {\rm B} \left ( b,\; b^2 \right )\) 이 있고, \(\angle \rm AOB\) 는 직각이다. 이 포물선 위의 두 점 \(\rm A,\;B\) 에서 각각 그은 접선의 교점을 \(\rm P\) 라 하자. \(\triangle \rm OAB\) 의 넓이를 \(S\), \(\triangle \rm PAB\) 의 넓이를 \(T\) 라 할 때, \( {\Large \frac {S}{T}} \) 의 최댓값은? (단, \(a>0)\) ① \(\Large \frac {1}{5}\) ② \(\Large \frac {1}{4}\) ③ \(\Large \f..

에서 곡선 \(y=x^3 -3x^2 +4x\) 의 접선의 방정식이 될 수 있는 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(y={\Large \frac{2}{3}} x +4\) ㄴ. \(y=x+3\) ㄷ. \(y=4x-4\) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ 정답 ③

\(1\le x \le 4\) 에서 두 함수 \(y=x^3 -6x^2 +1\) 과 \(y=ax+b\) 의 그래프가 접할 때, \(a-b\) 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. 정답 10

부등식 \(-\ln x \le y \le \ln x,\;\;x>1\) 을 만족시키는 영역 위의 두 동점 \({\rm P} (a,\;b),\;\; {\rm Q}(c,\;d)\) 에 대하여 \(\dfrac{b+d}{a+c}\) 의 최댓값은? ① \(\dfrac{1}{e}\) ② \(1\) ③ \(\sqrt{e}\) ④ \(e\) ⑤ \(e^2\) 정답 ①