수악중독

접선의 방정식 롤의 정리 (Rolle's Theorem) 함수 $f(x)$ 가 닫힌 구간 $[a, \; b]$ 에서 연속이고 열린 구간 $(a, \; b)$ 에서 미분가능할 때, $ f(a)=f(b)$ 이면 $f'(c)=0$ 인 $c$ 가 열린 구간 $(a, \; b)$ 안에 적어도 하나 존재한다. (1) 함수 $f(x)$ 가 상수함수인 경우 $f(x)=k$ ($k$ 는 상수) 이면 $f'(x)=0$ 이다. 따라서 열린 구간 $(a, \; b)$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대하여 $f'(x)=0$ 이고, 이는 곧 $f'(c)=0$ 인 $c$ 가 열린 구간 $(a, \; b)$ 에 반드시 존재함을 의미한다. (2) 함수 $f(x)$ 가 상수함수가 아닌 경우 이 경우 함수 $f(x)$ 는 최대최소의 정리로부..

그림과 같이 제1사분면에 있는 점 ${\rm P}(a, \; 2a)$ 에서 곡선 $y=-\dfrac{2}{x}$ 에 그은 두 접선의 접점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 할 때, $\overline{\rm PA}^2 + \overline{\rm PB}^2 + \overline{\rm AB}^2$ 의 최솟값을 구하시오. 정답 $90$

함수 \(f(x)=x^3+3x^2\) 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 정수 \(a\) 의 최댓값을 \(M\) 이라 할 때, \(M^2\) 의 값을 구하시오. (가) 점 \((-4, \;a)\) 를 지나고 곡선 \(y=f(x)\) 에 접하는 직선이 세 개 있다.(나) 세 접선의 기울기의 곱은 음수이다. 정답 \(9\)

두 곡선 \(y=x^3+3x,\; y=x^3+3x+k\) 에 동시에 접하는 접선의 기울기가 \(6\) 일 때, 양수 \(k\) 의 값을 구하시오. 정답 \(4\)

함수 \(f(x)=x^2(x-2)^2\) 이 있다. \(0 \leq x \leq 2\) 인 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \[ f(x) \leq f'(t)(x-t)+f(t)\] 를 만족시키는 실수 \(t\) 의 집합은 \(\{ t \; | \; p \leq t \leq q\}\) 이다. \(36pq\) 의 값을 구하시오. 정답 \(32\)

곡선 \(y=x^2\) 위의 점 \((-2,\;4)\) 에서의 접선이 곡선 \(y=x^3+ax-2\) 에 접할 때, 상수 \(a\) 의 값은? ① \(-9\) ② \(-7\) ③ \(-5\) ④ \(-3\) ⑤ \(-1\) 정답 ②

점 \((1,\;-1)\) 에서 곡선 \(y=x^2-x\) 에 그은 두 접선의 기울기의 합을 구하시오. 정답 \(2\)

점 \((0, \;-4)\) 에서 곡선 \(y=x^3-2\) 에 글은 접선이 \(x\) 축과 만나는 점의 좌표를 \((a,\;0)\) 이라 할 때, \(a\) 의 값은? ① \(\dfrac{7}{6}\) ② \(\dfrac{4}{3}\) ③ \(\dfrac{3}{2}\) ④ \(\dfrac{5}{3}\) ⑤ \(\dfrac{11}{6}\) 정답 ②

좌표평면에서 삼차함수 \(f(x)=x^3+ax^2+bx\) 와 실수 \(t\) 에 대하여 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((t, \;f(t))\) 에서 접선이 \(y\) 축과 만나는 점을 \(\rm P\) 라 할 때, 원점에서 점 \(\rm P\) 까지의 거리를 \(g(t)\) 라 하자. 함수 \(f(x)\) 와 함수 \(g(t)\) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(1)=2\) (나) 함수 \(g(t)\) 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. \(f(3)\) 의 값은? (단, \(a, \;b\) 는 상수이다.) ① \(21\) ② \(24\) ③ \(27\) ④ \(30\) ⑤ \(33\) 정답 ④

곡선 \(y=x^3-3x^2+2x\) 에 기울기가 \(m\) 인 접선을 두 개 그었을 때, 두 접점을 \(\rm P, \;Q\) 라 하자. 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? (단, \(\rm P, \;Q\) 는 서로 다른 점이다.) ㄱ. 두 점 \(\rm P, \;Q\) 의 \(x\) 좌표의 합은 \(2\) 이다. ㄴ. \(m>-1\) ㄷ. 두 접선 사이의 거리와 \(\overline{\rm PQ}\) 가 같아지는 실수 \(m\) 이 존재한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③