수악중독

오른쪽 그림과 같은 도로망이 있다. 지나간 길은 다시 지나지 않으면서 \(\rm P\) 지점에서 \(\rm Q\) 지점을 거쳐 \(\rm R\) 지점으로 가는 서로 다른 방법의 수는? (단, 가는 길은 왼쪽에서 오른쪽으로 도로를 따라 이동하며, 최단 거리일 필요는 없다.) ① \(243\) ② \(324\) ③ \(405\) ④ \(445\) ⑤ \(486\) 정답 ③

오른쪽 그림과 같이 \(1\)부터 \(9\)까지 쓰여 있는 정사각형 모양의 숫자판이 있다. 다음과 같은 조건에 따라 숫자판 내의 \(9\)개의 정사각형을 모두 지나는 방법의 수는? (가) 변을 공유하는 이웃한 정사각형으로만 이동할 수 있다. (나) 이미 지난 정사각형으로는 이동할 수 없다. ① \(32\) ② \(36\) ③ \(40\) ④ \(48\) ⑤ \(56\) 정답 ③

자연수 \(n\) 에 대하여 \(5^n\) 을 분모라 하는 기약분수 중에서 \(1\) 과 \(2\) 사이에 있는 수들의 합을 \(T_n\) 이라 하자. 예를 들면, \(T_1 = {\dfrac{6}{5}}+ {\dfrac{7}{5}}+ {\dfrac{8}{5}}+ {\dfrac{9}{5}} = 6\) 이다. 무한급수 \(\sum \limits _{n=1}^{\infty} {\dfrac{1}{T_n}} = {\dfrac {b}{a}} \) 일 때, 상수 \(a, \;b\) 의 합 \(a+b\) 의 값은? (단, \(a,\; b\) 는 서로소인 자연수이다.) ① \(28\) ② \(29\) ③ \(30\) ④ \(31\) ⑤ \(32\) 정답 ②

어느 신도시의 도로망은 아래 그림과 같이 정사각형 모양으로 이루어져 있다고 한다. 도현이는 \(\rm A\)지점에서 \(\rm B\)지점으로, 슬기는 \(\rm B\)지점에서 \(\rm A\)지점으로 최단 거리를 택하여 간다고 할 때, 도현이와 슬기가 만나지 않고 각자의 목적지에 도착하는 경우의 수는? (단, 도현이와 슬기의 속력은 같다.) ① \(20\) ② \(180\) ③ \(236\) ④ \(380\) ⑤ \(390\) 정답 ③

아래 그림과 같이 원 \(\rm O_1 , \;\; O_2 , \;\; O_3 , \;\; \cdots\) 은 서로 외접하면서 두 직선 \(y=3x,\;\; y= {\dfrac{1}{3}} x \) 에 접한다. 원 \(\rm O_1\) 의 중심의 좌표는 \(\left ( \sqrt {10} ,\; \sqrt{10} \right ) \) 이고, 원 \(\rm O_{\it n}\) 의 반지름의 길이를 \(r_n\) 이라 할 때, 무한급수 \(\sum \limits _{n=1}^{\infty} \sqrt {r_n} = a\sqrt{2} +b \sqrt {10} \) 이다. 이 때, 두 유리수 \(a,\; b\) 에 대하여 \(a+b\) 의 값은? ① \(1\) ② \(\dfrac{3}{2}\) ③ \(2\) ..

다음 표와 같이 윗줄에는 수열 \(\{a_n\}\) 이 나열되고 있고, 아랫줄에는 짝수가 나열되어 있다. \[a_1\] \[a_2\] \[a_3\] \[a_4\] \[a_5\] \[\cdots\] \[p\] \[q\] \[\cdots\] \[2\] \[4\] \[6\] \[8\] \[10\] \[\cdots\] \[r\] \[s\] \[\cdots\] 임의의 사각형 모양으로 네 수 \(p,\;q,\;r,\; s\) 를 잡으면 \(ps-qr=400\) 이 성립한다. 이때, \(\lim \limits _{n \to \infty} {\Large \frac{a_n}{n}} \) 의 값은? (단, \(a_1 =3\) ) ① \(-200\) ② \(-197\) ③ \(0\) ④ \(197\) ⑤ \(200\) 정답 ②

\(6\rm L\) 의 파인애플 주스가 들어 있는 음료수 병 \(\rm P\)와 아무 것도 들어 있지 않는 음료수 병 \(\rm Q\) 가 있다. 첫 번째 시행으로 \(\rm P\) 에 들어 있는 주스의 \(\dfrac{1}{2}\) 을 \(\rm Q\) 로 옮긴 다음, \(\rm Q\) 에 들어 있는 주스의 \(\dfrac{1}{3}\) 을 \(\rm P\) 에 다시 옮긴다. 두 번째 시행으로 \(\rm P\) 에 들어 있는 주스의 \(\dfrac{1}{4}\) 을 \(\rm Q\) 로 옮긴 다음, \(\rm Q\) 에 들어 있는 주스의 \(\dfrac{1}{5}\) 을 \(\rm P\) 에 다시 옮긴다. 이와 같이 \(\rm P\) 에서 \(\rm Q\) 로, \(\rm Q\) 에서 \(\rm P\)..

수직선 위에 두 점 \({\rm A}_1 (a) , \;\; {\rm A}_2 (b) \) 에 대하여 \(\overline {\rm A_1 A_2}\) 를 \(3:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm A_3\), \(\overline {\rm A_2 A_3} \) 을 \(3:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm A_4 , \cdots\) 와 같이 무한히 점을 잡아나갈 때, 점 \({\rm A}_n\) 의 \(x\) 좌표를 \(x_n\) 이라 하자. 이 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} x_n \) 의 값은? ① \(\dfrac{a+b}{2}\) ② \(\dfrac{a+2b}{3}\) ③ \(\dfrac{a+3b}{4}\) ④ \(\dfrac{a+4b}{5}\) ⑤ \(\dfrac{..

행렬 \(A\) 가 \(A \left ( \matrix {1 \cr 0 } \right ) = 3 \left ( \matrix {1 \cr 0 } \right ), \;\; A \left ( \matrix {1 \cr 1} \right ) = 5 \left ( \matrix {1 \cr 1} \right ) \) 을 만족할 때, \(A^n\) 의 모든 성분의 합은? (단, \(n\) 은 자연수이다.) ① \(5^n -3^n\) ② \(3^n\) ③ \(5^n\) ④ \(2 \cdot 3^n\) ⑤ \(2 \cdot 5^n\) 정답 ⑤

연속하는 \(2n+1\) 개의 자연수 \(a_1 ,\;a_2 , \; a_3 ,\; \cdots , \; a_{2n+1} \) 에 대하여 \[ a_1 ^2 + a_2 ^2 + \cdots + a_{n+1} ^2 = a_{n+2} ^2 + a_{n+3} ^2 + \cdots + a_{2n+1} ^2 \] 이 성립하는 수열이 존재한다. 예를 들어, 연속하는 \(5\)개의 자연수 \(10,\; 11,\; 12,\; 13,\; 14\) 에 대하여 \(10^2 +11^2 +12^2 = 13^2 +14^2\) 이 성립한다. 위 식이 성립하는 연속하는 \(15\) 개의 자연수로 이루어진 수열에서 첫째항은? ① \(105\) ② \(107\) ③ \(109\) ④ \(111\) ⑤ \(113\) 정답 ①