기하와 벡터_벡터의 내적_내적의 최댓값_난이도 상

좌표공간 위에 방정식 \[x^2+(y-3)^2=1 \;\;(z\; 는\; 실수)\] 가 나타내는 도형을 \(S\) 라 하자. 도형 \(S\) 와 \(xy\) 평면이 만나서 생기는 도형을 \(C_1\), 도형 \(S\) 와 평면 \(3y-4z=0\) 이 만나서 생기는 도형을 \(C_2\) 라 하자. 두 도형 \(C_1, \;C_2\) 의 중심을 각각 \(\rm O_1, \; O_2\) 라 하고 도형 \(C_1, \; C_2\) 위의 임의의 점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 하자. 두 점 \(\rm P, \;Q\) 가 내적 \(\overrightarrow{\rm O_1P} \cdot \overrightarrow{\rm O_2Q}=\dfrac{1}{2}\) 을 만족할 때, 선분 \(\rm PQ\) 의 길이의 최댓값은 \(M\) 이다. 이때, \(M^2\) 의 값을 구하시오.

 

 

정답 \(10\)