수악중독

수열 $\{a_n\}$ 을 다음과 같이 정의하자. 두 자연수 $m, \; n$ 에 대하여 $m-\dfrac{1}{2} < \sqrt{\dfrac{n}{3}} < m+ \dfrac{1}{2}$ 일 때, $a_n=m$ 이다. 예를 들어, $m=1$ 일 때, $1 \le n \le 6$ 이므로 $a_1=a_2=\cdots=a_6=1$ 이다.$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n\sqrt{n}} \sum \limits_{k=1}^n a_k = p$ 일 때, $81p^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $12$

수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 집합 $$A=\{x\; | \; x^2-1

그림과 같이 \(\overline{\rm A_1D_1}=2,\; \overline{\rm A_1B_1}=1\) 인 직사각형 \(\rm A_1B_1C_1D_1\) 에서 선분 \(\rm A_1D_1\) 의 중점을 \(\rm M_1\) 이라 하자. 중심이 \(\rm A_1\), 반지름의 길이가 \(\rm A_1B_1\) 이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{2}\) 인 부채꼴 \(\rm A_1B_1M_1\) 을 그리고, 부채꼴 \(\rm A_1B_1M_1\) 에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\) 이라 하자. 그림 \(R_1\) 에서 부채꼴 \(\rm A_1B_1M_1\) 의 호 \(\rm B_1M_1\) 이 선분 \(\rm A_1C_1\) 과 만나는 점을 \(\rm A_2\) 라 하고, 중심이 \(..

두 수열 \(\{a_n\},\;\{b_n\}\) 이 각각 \[a_n=\dfrac{1}{2^{n-2}} \cos \dfrac{(n-1)\pi}{2},\;\; b_n=\dfrac{1+(-1)^{n-1}}{2^n}\] 일 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. 모든 자연수 \(k\) 에대하여 \(a_{3k}

\(n \geq 2\) 인 자연수 \(n\) 에 대하여 중심이 원점이고 반지름의 길이가 \(1\) 인 원 \(C\) 를 \(x\) 축의 방향으로 \(\dfrac{2}{n}\) 만큼 평행이동시킨 원을 \(C_n\) 이라 하자. 원 \(C\) 와 원 \(C_n\) 의 공통현의 길이를 \(l_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{(nl_n)^2}=\dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(19\)

두 무한수열 \(\{a_n\},\;\{b_n\}\) 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 수열 \(\{a_n\}\) 에서 \(a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\) 일 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 은 발산한다. ㄴ. 두 수열 \(\{a_n\},\;\{b_n\}\) 이 각각 수렴하면 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_nb_n=\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n \sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n\) 이다. ㄷ. 수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_1=1,\; a_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}a_n\;(n=1, \;2,\;3,\;\cdots )\)..

수렴하는 수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 무한급수 \[\left ( a_1 - \dfrac{2}{1^2} \right ) + \left ( a_2 - \dfrac{2+4}{3^2} \right ) + \cdots + \left \{ a_n - \dfrac{2+4+6+\cdots+2n}{(2n-1)^2} \right \} + \cdots\] 이 수렴할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n\) 의 값은? ① \(0\) ② \(\dfrac{1}{6}\) ③ \(\dfrac{1}{4}\) ④ \(\dfrac{1}{2}\) ⑤ \(1\) 정답 ③

무한급수 \(\left ( \dfrac{3}{2} - \dfrac{4}{3} \right )+\left ( \dfrac{4}{3} - \dfrac{5}{4} \right )+\left ( \dfrac{5}{4} - \dfrac{6}{5} \right )+\cdots \) 의 합은? ① \(\dfrac{1}{4}\) ② \(\dfrac{1}{3}\) ③ \(\dfrac{1}{2}\) ④ \(1\) ⑤ \(\dfrac{3}{2}\) 정답 ③

수열 \(\{a_n\}\) 의 계차수열 \(\{b_n\}\) 이 다음을 만족시킬 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} (a_1 +a_n) \)의 값을 구하시오. (단, \(a_1>0\)) (가) \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n=2\)(나) \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{b_n}{a_na_{n+1}} = \dfrac{1}{12}\) 정답 \(10\) \(\therefore \lim \limits_{n \to \infty} (a_1 +a_n) = a_1+a_1+2=4+4+2=10\)

정수 \(a, \;b\) 에 대하여 \(2^a \times 3^b = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+2)}\) 가 성립할 때, \(a^2 +b^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(5\)