수열의 극한_무한급수_난이도 상

수열 $\{a_n\}$ 을 다음과 같이 정의하자.

두 자연수 $m, \; n$ 에 대하여 $m-\dfrac{1}{2} < \sqrt{\dfrac{n}{3}} < m+ \dfrac{1}{2}$ 일 때, $a_n=m$ 이다.

예를 들어, $m=1$ 일 때, $1 \le n \le 6$ 이므로 $a_1=a_2=\cdots=a_6=1$ 이다.

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n\sqrt{n}} \sum \limits_{k=1}^n a_k = p$ 일 때, $81p^2$ 의 값을 구하시오.

정답 $12$