수악중독

곡선 \(y=6x^2+1\) 과 \(x\) 축 및 두 직선 \(x=1-h,\; x=1+h\;(h>0)\) 로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S(h)\) 라 할 때, \(\lim \limits_{h \to +0} \dfrac{S(h)}{h}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(14\)

그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 \(\rm A(2,\;0), \; B(0,\;3)\) 을 지나는 직선과 곡선 \(y=ax^2 \;(a>0)\) 및 \(y\) 축으로 둘러싸인 부분 중에서 제\(1\)사분면에 있는 부분의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 또, 직선 \(AB\)와 곡선 \(y=ax^2\) 및 \(x\) 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S_2\) 라 하자. \(S_1 :S_2=13:3\) 일 때, 상수 \(a\) 의 값은? ① \(\dfrac{2}{9}\) ② \(\dfrac{1}{3}\) ③ \(\dfrac{4}{9}\) ④ \(\dfrac{5}{9}\) ⑤ \(\dfrac{2}{3}\) 정답 ②

제 \(1\) 사분면에 속하고 곡선 \(y=x^2\) 위에 있는 임의의 점 \({\rm P}(x, \;y)\) 에서 \(x\) 축에 평행인 직선과 \(y\) 축에 평행인 직선을 오른쪽 그림과 같이 그었다. 이 두 직선과 곡선 \(y=\dfrac{1}{2}x^2\), \(y=ax^2\) \((a>0)\) 에 의해 둘러싸인 부분의 넓이를 곡선 \(y=x^2\) 이 이등분할 때, \(a\) 의 값을 구하여라. 정답 \(\dfrac{16}{9}\)

그림과 같이 임의로 그은 직선 \(l\) 이 \(y\) 축과 만나는 점을 \(\rm A\), 점 \(\rm C(6,\;0)\) 과 을 지나고 \(y\) 축과 평행하게 그은 직선과의 교점을 \(\rm B\) 라 하자. 사다리꼴 \(\rm OABC\) 의 넓이가 곡선 \(f(x)=x^3 -6x^2\) 과 \(x\) 축으로 둘러싸인 부분의 넓이과 같을 때, 임의의 직선 \(l\) 은 항상 일정한 점 \(\rm D\) 를 지난다. 이때, \(\triangle \rm ODC\) 의 넓이를 구하시오. (단, \(\overline{\rm AB}\) 는 \(\overline{\rm OC}\) 아래에 있다.) 정답 \(54\)

그림과 같이 함수 \(f(x)=ax^2 +b \;(x\geq 0)\) 의 그래프와 그 역함수 \(g(x)\) 의 그래프가 만나는 두 점의 \(x\) 좌표는 \(1\) 과 \(2\) 이다. \(0\leq x \leq 1\) 에서 두 곡선 \(y=f(x),\; y=g(x)\) 및 \(x\) 축, \(y\) 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(A\) 라 하고, \(1\leq x \leq 2\) 에서 두 곡선 \(y=f(x),\; y=g(x)\) 로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(B\) 라 하자. 이때, \(A-B\) 의 값은? (단, \(a, \;b\) 는 상수이다.)① \(\dfrac{1}{9}\) ② \(\dfrac{2}{9}\) ③ \(\dfrac{1}{3}\) ④ \(\dfrac{4}{9}\) ⑤ \(\df..

삼차항의 계수가 각각 \(1, \;2\) 인 두 삼차함수 \(f(x), g(x)\) 및 일차함수 \(y=h(x)\) 의 그래프가 다음과 같다. \(\displaystyle \int _a ^c f(x) dx=-4\), \(\displaystyle \int _b ^c g(x) dx +12=\dfrac{1}{2} (c-b)\{g(b)+g(c)\}\) 일 때, \(y=f(x)\) 의 그래프와 \(x\) 축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이의 곱을 구하시오. 정답 12

그림과 같이 네 점 \( ( 0 , \; 0 ) , \; ( 1 , \; 0 ) , \; ( 1 , \; 1 ) , \; ( 0 , \; 1 ) \) 을 꼭짓점으로 하는 정사각형의 내부를 두 곡선 \( y = \dfrac{1}{2} x^2 , \; y=ax^2 \) 으로 나눈 세 부분의 넓이를 각각 \( S_1 , \; S_2 , \; S_3 \) 이라 하자. \( S_1 , \; S_2 , \; S_3 \) 이 이 순서로 등차수열을 이룰 때, 양수 \( a \) 의 값은?① \(\dfrac{16}{9}\) ② \(\dfrac{17}{9}\) ③ \(2\) ④ \(\dfrac{19}{9}\) ⑤ \(\dfrac{20}{9}\) 정답 ①

두 다항식 \( f(x) , \; g(x) \) 에 대하여 \( f(x) = x \cdot g(x) \) 이고 방정식 \( g(x) = 1 \)을 만족하는 \( x \) 의 값은 \( -4 , \; 6 \) 이다. 그림과 같이 \( x \) 축에 접하는 곡선 위의 점 \( \rm P \) 에서 각각 \( x , \; y \) 축에 내린 두 수선의 발 \( {\rm Q}(a,\;0) , \; {\rm R} ( 0 , \; b ) \) 에 대하여 사각형 \( \rm OQPR \) 는 넓이가 가장 큰 정사각형일 때, 다음 중 곡선 \( y = f(x) \) 와 직선 \( y=b \) 및 \( y \)축으로 둘러싸인 넓이를 나타낸 것은? ① \( 9 - \displaystyle \int_0^3 f(x){\rm ..

함수 \( f(x) = x^3 \) 의 그래프를 \( x \) 축 방향으로 \( a \) 만큼, \( y \) 축 방향으로 \( b \) 만큼 평행이동시켰더니 함수 \( y = g(x) \) 의 그래프가 되었다. \( g(0)=0 \) 이고 \(\displaystyle\int_0^{3a} {g(x){\rm{d}}x - } \int_0^{2a} {f(x){\rm{d}}x} = 32\) 일 때, \( a^4 \) 의 값을 구하시오. 정답 16

함수 \( f(x) = (x-a)(x-b) \) 는 다음을 만족시킨다.\[ \displaystyle \int_{a}^{\dfrac{a+b}{2}}f(x)dx = - \dfrac{2}{3} , \; f(0)=1 \] 이 때, \( a^2 + b^2 \) 의 값은? (일반적으로, \( \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx = - \dfrac{(\beta - \alpha ) ^3 }{6} \) 이 성립한다.) ① \(2\) ② \(4\) ③ \(6\) ④ \(8\) ⑤ \(10\) 정답 ③