수악중독

$x>a$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 와 최고차항의 계수가 $-1$ 인 사차함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (단, $a$ 는 상수이다.) (가) $x>a$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $(x-a)f(x)=g(x)$ 이다.(나) 서로 다른 두 실수 $\alpha, \; \beta$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는 $x= \alpha$ 와 $x=\beta$에서 동일한 극댓값 $M$ 을 갖는다. (단, $M>0$)(다) 함수 $f(x)$ 가 극대 또는 극소가 되는 $x$ 의 개수는 함수 $g(x)$ 가 극대 또는 극소가 되는 $x$ 의 개수보다 많다. $\beta - \alpha = 6 \sqrt{3}$ 일 때, $M$ 의 최솟값을 구하시오. 정답 $216$

그림과 같이 두 삼차함수 $f(x), \; g(x)$ 의 도함수 $y=f'(x), \; y=g'(x)$ 의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점의 $x$ 좌표는 $a, \;b\; (0

최고차항의 계수가 \(1\) 인 사차함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(2-x)=f(2+x)\) 이다. (나) \(f(0)=0,\;\; f'(1)=0\) 함수 \(f(x)\) 가 \(x=p\) 에서 극댓값 \(q\) 를 가질 때, \(p+q\) 의 값은? ① \(-8\) ② \(-7\) ③ \(-6\) ④ \(-5\) ⑤ \(-4\) 정답 ③ [수능 수학/수능수학] - 사차함수 그래프의 특징

실수 \(t\) 에 대하여 직선 \(x=t\) 가 두 함수 \[y=x^4 -4x^3 +10x-30, \;\; y=2x+2\] 의 그래프와 만나는 점을 각각 \(\rm A, \; B\) 라 할 때, 점 \(\rm A\) 와 점 \(\rm B\) 사이의 거리를 \(f(t)\) 라 하자.\[\lim\limits_{h \to +0} \dfrac{f(t+h)-f(t)}{h} \times \lim \limits_{h \to -0} \dfrac{f(t+h)-f(h)}{h} \le 0\] 을 만족시키는 모든 실수 \(t\) 의 값의 합은? ① \(-7\) ② \(-3\) ③ \(1\) ④ \(5\) ⑤ \(9\) 정답 ④

양수 \(a\) 와 두 실수 \(b, \;c\) 에 대하여 함수 \(f(x)= \left ( ax^2 +bx+c \right ) e^x\) 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(x)\) 는 \(x=-\sqrt{3}\) 과 \(x=\sqrt{3}\) 에서 극값을 갖는다.(나) \(0 \le x_1 < x_2\) 인 임의의 두 실수 \(x_1 , x_2\) 에 대하여 \(f(x_2) - f(x_1) +x_2 -x_1 \ge 0\) 이다. 세 수 \(a, \;b, \;c\) 의 곱 \(abc\) 의 최댓값을 \(\dfrac{k}{e^3}\) 라 할 때, \(60k\) 의 값을 구하시오. 정답 \(15\) 평균값의 정리에 대한 개념이 있는 분이라면 \(\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_..

두 다항함수 \(f(x)\) 와 \(g(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \[g(x)=\left ( x^3 +2 \right ) f(x)\] 를 만족시킨다. \(g(x)\) 가 \(x=1\) 에서 극댓값 \(24\)를 가질 때, \(f(1)-f'(1)\) 의 값을 구하시오. 정답 16 지금보니까 원래 문제는 \(x=1\) 에서 극댓값을 갖는 것이 아니라 극솟값 \(24\) 를 갖는 문제였네요. 그래도 풀이는 달라지지 않기 때문에 귀차니즘으로 인하여 그냥 문제를 극솟값으로 만들었습니다. ^^;

삼차함수 \(y=f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 \(f(x)-x=0\) 이 서로 다른 세 실근 \(\alpha, \; \beta ,\; \gamma\) 를 갖는다 (나) \(x=3\) 일 때 극값 \(7\) 을 갖는다. (다) \(f(f(3))=5\) \(f(f(x))\)를 \(f(x)-x\) 로 나눈 몫을 \(g(x)\), 나머지를 \(h(x)\) 라고 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(\alpha, \; \beta, \; \gamma\) 는 방정식 \(f(f(x))-x=0\) 의 근이다. ㄴ. \(h(x)=x\) ㄷ. \(g'(3)=1\) ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ ㄷ 정답 ③

사차함수 \(y=f(x)\) 의 도함수 \(y=f'(x)\) 의 그래프가 그림과 같이 \(x=-2\) 에서 \(x\) 축에 접하고, 점 \(3,\;0)\) 을 지날 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 함수 \(f(x)\) 는 \(x=3\) 에서 극댓값을 가진다. ㄴ. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 부등식 \(f(x)\leq f(-2)f(3)\) 이 성립한다. ㄷ. \(a \ne -2\) 일 때, \(f(-2)=f(a)\) 를 만족시키는 실수 \(a\) 에 대하여 함수 \(f(x)\) 는 구간 \((-a,\; \infty)\) 에서 항상 최댓값을 가진다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

그림은 함수 \( f(x) = \left \{ {\begin{array}{cl}1 & {\left( {x \le 0} \right)} \\ {-x+1} & {\left( {x>0} \right ) }\end{array}} \right. \) 의 그래프이다. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(g(x)\) 를 \[g(x)=\int _{-1}^x e^t f(t) dt\] 라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(g(0)=1-\dfrac{1}{e}\) ㄴ. 함수 \(g(x)\) 는 극댓값 \(e- \dfrac{1}{e}\) 을 갖는다. ㄷ. 방정식 \(g(x)=0\) 의 실근의 개수는 \(2\) 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

사차함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\) 가 \[f'(x)=(x+1)(x^2+ax+b)\] 이다. 함수 \(f(x)\) 가 구간 \((-\infty,\;0)\)에서 감소하고 구간 \((2, \; \infty )\) 에서 증가하도록 하는 실수 \(a,\;b\) 의 순서쌍 \((a,\;b)\) 에 대하여, \(a^2+b^2\) 의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\) 이라 하자.\(M+m\)의 값은? ① \(\dfrac{21}{4}\) ② \(\dfrac{43}{8}\) ③ \(\dfrac{11}{2}\) ④ \(\dfrac{45}{8}\) ⑤ \(\dfrac{23}{4}\) 정답 ③ 사차함수 그래프가 \(x=-1\) 에서 미분계수가 \(0\) 이 됨에도 불구하고 계속해서 감소를 유지하기 위해..