미적분과 통계기본_미분_함수의 그래프와 미분_난이도 상

사차함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\) 가 \[f'(x)=(x+1)(x^2+ax+b)\] 이다. 함수 \(f(x)\) 가 구간 \((-\infty,\;0)\)에서 감소하고 구간 \((2, \; \infty )\) 에서 증가하도록 하는 실수 \(a,\;b\) 의 순서쌍 \((a,\;b)\) 에 대하여, \(a^2+b^2\) 의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\) 이라 하자.\(M+m\)의 값은?

① \(\dfrac{21}{4}\)          ② \(\dfrac{43}{8}\)          ③ \(\dfrac{11}{2}\)          ④ \(\dfrac{45}{8}\)          ⑤ \(\dfrac{23}{4}\)

정답 ③ 

사차함수 그래프가 \(x=-1\) 에서 미분계수가 \(0\) 이 됨에도 불구하고 계속해서 감소를 유지하기 위해서는 그래프의 개형은 다음과 같아야 한다.

 즉 \(f'(x)=0\) 이 \(x=-1\) 에서 중근을 갖게 되면 위와 같은 형태의 그래프가 되고, 이렇게 되어야만 \((-\infty, \; 0)\) 의 구간에서 계속 감소한다는 조건을 만족시키게 된다. 사차함수 그래프의 개형 5가지를 모두 알고 있었다면 보다 쉽게 해결할 수 있는 문제다.