수악중독

좌표공간에서 구 \[S:\;(x-1)^2 +(y-1)^2 +(z-1)^2 =4\] 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 가 있다. 점 \(\rm P\) 에서 구 \(S\) 에 접하는 평면이 구 \(x^2 +y^2 +z^2 =16\) 과 만나서 생기는 도형의 넓이의 최댓값은 \(\left ( a+b \sqrt{3} \right ) \pi \) 이다. \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(a,\;b\) 는 자연수이다.) 정답 13

그림과 같이 좌표공간에 두 구 \({\rm A} \; : \; x^2 +y^2 +z^2 =4\), \({\rm B} \; : \; x^2 +(y-6)^2 +z^2 =1\)이 있다. 두 구 \(\rm A,\;B\) 밖의 점 \(\rm P\)\((x,\; y,\; z)\)에서 두 구 \(\rm A,\;B\)에 그은 접선의 점점까지의 선분들의 집합을 각각 \(S(\rm P\; ; \; A)\), \(S(\rm P \; ; \;B)\)라 하자. 원점 \(\rm O\)에 대하여 \(\overline{\rm OP}=m\)이라 할 때, 도형 \(S(\rm P\; ; \; A)\)와 도형 \(S(\rm P \; ; \;B)\)가 닮음이 되도록 하는 \(m\)의 최댓값을 구하시오. 정답 12

좌표공간에 두 점 \({\rm A} (3, \; 2, \; 4), \;\; {\rm B} (1, \; 4, \; 8)\)이 있다. 점 \(\rm P\)가 구 \(x^2 +y^2 +z^2 =1\) 위를 움직일 때, \( {\overline {\rm PA}}^2 + {\overline {\rm PB}}^2\)의 최솟값을 구하시오. 정답 84 풀이가 잘못되었습니다. PM의 길이가 6 이므로 이를 제곱하면 36이 되어야 하네요 맨 마지막 줄에서 2(6+36)=84 가 되어 정답이 84가 됩니다. 풀이의 오류를 지적해 주신 최기찬 님께 감사드립니다. 관련개념 [수능 수학] - 파푸스의 중선정리

점 \({\rm A}(1,\;-1,\;2)\) 에서 직선 \(g\; :\) \(\dfrac{x+1}{2}\)\(=y-4=\)\(\dfrac{z-7}{-3}\)에 내린 수선의 발을 \({\rm H}(a,\;b,\;c)\)라 할 때, \(a^2 +b^2 +c^2 \)의 값을 구하시오. 정답 42

아래 그림과 같이 중심이 원점 \(\rm O\)이고, 반지름의 길이가 \(1\)이며, 세 점 \(\rm A,\;B,\;C\)를 지나는 반원 모양의 조형물이 \(xz\)평면 위에 놓여 있다. 점 \({\rm P}(0,\;-1,\;2)\)의 위치에 있는 광원에서 빛을 비추었을 때 이 조형물에 의해 \(xy\)평면에 생기는 그림자의 모양은 타원의 일부가 된다. 이 타원의 장축의 길이는? ① \(\Large \frac{4\sqrt{3}}{3}\) ② \(\Large \frac{5\sqrt{2}}{3}\) ③ \(2\sqrt{2}\) ④ \(2\sqrt{3}\) ⑤ \(\Large \frac{7\sqrt{2}}{3}\) 정답 ①

오른쪽 그림과 같이 \(\overline{\rm AB}=8,\; \overline{\rm AE}=6,\; \overline{\rm AD}=16\)인 직육면체 \(\rm ABCD-EFGH\)에서 변 \(\rm CD, \; GF\)를 \(3:5\)로 내분하는 점을 각각 \(\rm P,\;Q\)라 할 때, 평면 \(\rm ADGF\)와 평면 \(\rm APQ\)가 이루는 각의 크기를 \(\theta\)라 하자. 이 때, \(\cos \theta\)의 값은? ① \(\Large \frac{1}{3}\) ② \(\Large \frac{\sqrt{2}}{3}\) ③ \(\Large \frac{2}{3}\) ④ \(\Large \frac{2\sqrt{2}}{3}\) ⑤ \(\Large \frac{4}{3}\) 정답 ④

공간좌표 위의 점 \({\rm P}(a,\;b,\;c)\)에서 \(xy\)평면, 평면 \(\alpha \; : \; z=\sqrt{3} x\)에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm H_1 ,\;H_2\)라고 하자. 두 선분 \(\rm PH_1 ,\; PH_2 \)의 길이가 같을 때, 점 \(\rm P\)가 움직이는 도형의 넓이는 \(m+n\sqrt{3}\)이다. 이 때, \(\Large \frac{m}{n} \)의 값을 구하시오. (단, \(0\le a\le 1,\; 0 \le b \le 2)\) 정답 ③ 동영상의 설명이 부족하다는 건의사항이 있어서 대충 어떤 모습일지 그림을 그려서 보여드립니다. 대충 어떤 그림인지 그려지십니까? a, b의 범위를 생각하시면 아래와 같은 그림을 얻을 수 있구요, 나머지 하..

좌표공간의 점 \({\rm P} (-1, \; 2,\;3)\) 에서 구 \(x^2 +y^2 +z^2 =1\) 에 그은 접선의 접점에 의하여 생기는 원을 $C$ 라 할 때, 다음 중 원 \(C\) 를 포함하는 평면의 방정식은? ① \(x-2y-3z=1\) ② \(x-2y-3z=0\) ③ \(x-2y-3z=-2\) ④ \(x-\dfrac{1}{2}y-\dfrac{1}{3}z=1\) ⑤ \(3x+2y+z=1\) 정답 ③

공간의 네 점 \({\rm O}(0,\;0,\;0),\;\; {\rm A}(1,\;1,\;2),\;\; {\rm B}(2,\;1,\;3),\;\; {\rm C}(3,\;4,\;1)\) 을 꼭짓점으로 하는 사면체의 부피는? ① \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) ② \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ③ \(1\) ④ \(\sqrt{2}\) ⑤ \(\sqrt{3}\) 정답 ③

\((a,\;b,\;c)\) 를 구 \(x^2 +y^2 +z^2 =4\) 위의 한 점의 좌표라고 할 때, 두 평면 \(ax+by+cz=1\) 와 \(ax+by+cz=3\) 사이의 거리는? (단, \(abc \ne 0\) ) ① \(\dfrac{1}{2}\) ② \(1\) ③ \(\dfrac{3}{2}\) ④ \(2\) ⑤ \(\dfrac{11}{3}\) 정답 ②