수악중독

좌표공간에 있는 원기둥이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 높이는 \(8\) 이다. (나) 한 밑면의 중심은 원점이고 다른 밑면은 평면 \(z=10\) 과 오직 한 점 \((0,\;0,\;10)\) 에서 만난다. 이 원기둥의 한 밑면의 평면 \(z=10\) 위로의 정사영의 넓이는? ① \(\dfrac{139}{4}\pi\) ② \(\dfrac{144}{5}\pi\) ③ \(\dfrac{149}{5}\pi\) ④ \(\dfrac{154}{5}\pi\) ⑤ \(\dfrac{159}{5}\pi\) 정답 ②

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 \(7\) 인 원기둥과 밑면의 반지름의 길이가 \(5\) 이고 높이가 \(12\)인 월뿔이 평면 \(\alpha\) 위에 놓여 있고, 원뿔의 밑변의 둘레가 원기둥의 밑면의 둘레에 내접한다. 평면 \(\alpha\) 와 만나는 원기둥의 밑면의 중심을 \(\rm O\), 원뿔의 꼭짓점을 \(\rm A\) 라 하자. 중심이 \(\rm B\) 이고 반지름의 길이가 \(4\) 인 구 \(S\) 가 다음 조건을 만족한다. (가) 구 \(S\) 는 원기둥과 원뿔에 모두 접한다. (나) 두 점 \(\rm A, \;B\) 의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영이 각각 \(\rm A', \;B'\) 일 때, \(\angle \rm A'OB'=180^{\rm o}\) 이다. 직선 \(..

그림과 같이 한 모서리의 길이가 \(4\) 인 정사면체 \(\rm ABCD\) 의 한 면인 삼각형 \(\rm ABC\) 의 무게중심 \(\rm G\) 에 접하면서 정사면체 \(\rm ABCD\) 의 한 면 \(\rm BCD\) 를 포함하는 평면 \(\alpha\) 에 접하는 구가 있다. 구의 중심 \(\rm P\) 와 무게중심 \(\rm G\) 를 지나고 직선 \(\rm CD\) 에 평행한 평면을 \(\beta\) 라 할 때, 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 가 이루는 예각의 크기 \(\theta\) 에 대하여 \(\cos ^2 \theta=\dfrac{q}{p}\) 이다. 이때, 서로소인 두 자연수 \(p, \; q\) 의 합 \(p+q\) 의 값을 구하시오. 정답 17

그림과 같이 한 모서리의 길이가 \(4\) 인 정육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 에서 모서리 \(\rm BF, \; CG,\; BC\) 의 중점을 각각 \(\rm I, \; J,\; K\) 라 하자. 점 \(\rm K\) 에서 평면 \(\rm AIJD\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm L\), 직선 \(\rm DI\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm M\) 이라 할 때, 선분 \(\rm LM\) 의 길이는? ① \(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) ② \(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\) ③ \(\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\) ④ \(\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\) ⑤ \(\sqrt{5}\) 정답 ②

그림과 같이 한 모서리의 길이가 \(8\) 인 정팔면체 \(\rm ABCDEF\) 의 모서리 \(\rm AE,\;AB,\;CF,\;DF\) 의 중점을 각각 \(\rm P,\;,Q,\;R,\;S\) 라 할 때, 사각형 \(\rm PQRS\) 의 평면 \(\rm BCDE\) 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. 정답 16

아래 그림과 같이 평면 \(\alpha\) 위에 \(\overline {\rm OA} = 2,\; \overline {\rm OC} = \sqrt{3},\; \overline {\rm OD} = 1 \) 인 직육면체 \(\rm OABC-DEFG\) 가 있다. 모서리 \(\overline {\rm BC}\) 위의 한 점 \(\rm A'\) 은 \(\overline {\rm BA'} =1 \) 인 점이고, 꼭짓점 \(\rm D\) 에서 선분 \(\overline {\rm AA'}\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm H\) 라 하자. 선분 \(\overline {\rm OD}\) 를 회전축으로 하여 직육면체 \(\rm OABC-DEFG\) 를 \(360^o\) 회전시킬 때, 선분 \(\overline {\rm..

좌표공간에 구 \(x^2 +y^2 + z^2 =1\) 이 있다. 이 구 위에 두 점 \( {\rm A} (1,\;0,\;0),\;\; {\rm B} \left ( 0,\; {\displaystyle \frac{1}{\sqrt {2}}},\; -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\right ) \)에 대하여 \( \overline {\rm AP} = \overline {\rm BP} \) 를 만족하는 점 \( \rm P \) 가 구 \(x^2 +y^2 + z^2 =1\)에 있을 때, 점 \(\rm P\) 가 그리는 자취를 \(xy\) 평면에 정사영 시킨 도형의 넓이를 \(S\) 라고 한다. \(100S\) 의 값을 구하시오. (단, \( \pi =3.14\) 로 계산한다.) 정답..

반지름의 길이가 각각 \(2,\; 4,\; 8\)이고 서로 외접하는 세 개의 구가 평면 \(\alpha\) 위에 놓여 있다. 세 구의 중심을 각각 \(\rm A,\;B,\;C\)라 하고, 평면 \(\rm ABC\)와 평면 \(\alpha\)가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 하자. \(\cos \theta ={\Large \frac{b}{a}} \sqrt{2}\) 일 때, \(a+b\)의 값을 구하시오. (단, \(a,\;b)\)는 서로소인 자연수이다.) 정답 3

오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 \(6\) 인 정육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 에서 \(\overline {\rm PQ}\) 가 \(\overline {\rm AC}\) 와 \(\overline {\rm DF}\) 에 동시에 수직이 되도록 \(\overline {\rm AC}\) 위에 점 \(\rm P\) 를, 대각선 \(\rm DF\) 위에 점 \(\rm Q\) 를 잡을 때, \(\overline {\rm PQ}\) 의 길이는? ① \(\sqrt{2}\) ② \(\sqrt{3}\) ③ \(2\) ④ \(\sqrt{5}\) ⑤ \(\sqrt{6}\) 정답 ⑤

\(\overline {\rm AB} =a ,\;\; \overline {\rm AD} = b \;\;\;(a>b>0)\) 인 직사각형 모양의 종이 \(\rm ABCD\) 가 있다. 그림과 같이 대각선 \(\rm BD\) 의 중점 \(\rm M\) 을 지나고 \(\rm BD\) 에 수직인 직선 \(\rm EF\) 를 접는 선으로 하여 평면 \(\rm AEFD\) 와 평면 \(\rm EBCF\) 가 수직이 되도록 접었다. 이 공간도형에서 \(\angle \rm CFD\) 의 크기를 \(\theta \;\;(0