기하와 벡터_공간도형과 공간좌표_직선과 평면이 이루는 각_난이도 중

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 \(7\) 인 원기둥과 밑면의 반지름의 길이가 \(5\) 이고 높이가 \(12\)인 월뿔이 평면 \(\alpha\) 위에 놓여 있고, 원뿔의 밑변의 둘레가 원기둥의 밑면의 둘레에 내접한다. 평면 \(\alpha\) 와 만나는 원기둥의 밑면의 중심을 \(\rm O\), 원뿔의 꼭짓점을 \(\rm A\) 라 하자. 중심이 \(\rm B\) 이고 반지름의 길이가 \(4\) 인 구 \(S\) 가 다음 조건을 만족한다.

 

(가) 구 \(S\) 는 원기둥과 원뿔에 모두 접한다.

(나) 두 점 \(\rm A, \;B\) 의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영이 각각 \(\rm A', \;B'\) 일 때, \(\angle \rm A'OB'=180^{\rm o}\) 이다. 

 

직선 \(\rm AB\) 와 평면 \(\alpha\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\tan \theta =p\) 이다. \(100p\) 의 값을 구하시오. (단, 원뿔의 밑면의 중심과 점 \(\rm A'\) 은 일치한다.)

 

정답 \(32\)