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목록미적분 - 문제풀이/미분법 (97)
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함수 $f(x)=e^x (2 \sin x + \cos x)$ 에 대하여 $f'(0)$ 의 값은? ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ①
두 함수 $f(x)=a^x, \; g(x)=2 \log_b x$ 에 대하여 $$\lim \limits_{x \to e} \dfrac{f(x)-g(x)}{x-e}=0$$ 일 때, $a \times b$ 의 값은? (단, $a$ 와 $b$ 는 $1$ 보다 큰 상수이다.) ① $e^{\frac{1}{e}}$ ② $e^{\frac{2}{e}}$ ③ $e^{\frac{3}{e}}$ ④ $e^{\frac{4}{e}}$ ⑤ $e^{\frac{5}{e}}$ 더보기 정답 ③
그림과 같이 좌표평면 위에 점 $\mathrm{A}(0, \; 1)$ 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 $C$ 가 있다. 원점 $\mathrm{O}$ 를 지나고 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\theta$ 인 직선이 원 $C$ 와 만나는 점 중 $\mathrm{O}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{P}$ 라 하고, 호 $\mathrm{OP}$ 위에 점 $\mathrm{Q}$ 를 $\angle \mathrm{OPQ}=\dfrac{\theta}{3}$ 가 되도록 잡는다. 삼각형 $\mathrm{POQ}$ 의 넓이를 $f(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{f(\theta)}{\theta^3}$ 의 값은? (단, 점 $\..
그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}$, 반지름의 길이가 $8$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$ 가 있다. 호 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{C}$ 에 대하여 점 $\mathrm{B}$ 에서 선분 $\mathrm{OC}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{D}$ 라 하고, 두 선분 $\mathrm{BD}, \; \mathrm{CD}$ 와 호 $\mathrm{BC}$ 에 동시에 접하는 원을 $C$ 라 하자. 점 $\mathrm{O}$ 에서 원 $C$ 에 그은 접선 중 점 $\mathrm{C}$ 를 지나지 않는 직선이 호 $\mathrm{AB}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{E}$ 라 할 때, $\cos \left ( \..
$x \ge 0$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(x) = \begin{cases} 2^x -1 & (0 \le x \le 1) \\ 4 \times \left (\dfrac{1}{2} \right )^x -1 & (1 \lt x \le 2) \end{cases}$ (나) 모든 양의 실수 $x$ 에 대하여 $f(x+2)=-\dfrac{1}{2}f(x)$ 이다. $x \gt 0$ 에서 정의된 함수 $g(x)$ 를 $$ g(x)=\lim \limits_{h \to 0+} \dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{h}$$ 라 할 때, $$\lim \limits_{t \to 0+} \{ g(n+t) - g(n-t)\} + 2g(n)=\dfrac{\ln 2}{2^{24}}$$..
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=\dfrac{f(x)}{x^2}$ 라 하자. $\lim \limits_{x \to 3} \dfrac{f(x)+6}{x-3}=4$ 일 때, $g'(3)$ 의 값은? ① $\dfrac{5}{9}$ ② $\dfrac{2}{3}$ ③ $\dfrac{7}{9}$ ④ $\dfrac{8}{9}$ ⑤ $1$ 더보기 정답 ④
매개변수 $t \; (t>0)$ 으로 나타낸 곡선 $$x=2t^2+t, \quad y=\sin \dfrac{\pi}{2}t$$ 위의 점 $(1, \; a)$ 에서의 접선의 기울기는 $m$ 이다. $\dfrac{m}{a}$ 의 값은? ① $\dfrac{\pi}{18}$ ② $\dfrac{\pi}{9}$ ③ $\dfrac{\pi}{6}$ ④ $\dfrac{2}{9}\pi$ ⑤ $\dfrac{5}{18}\pi$ 더보기 정답 ③
함수 $f(x)=(x+k) \ln x$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 $$g \left ( \dfrac{x}{k} \right ) = f^{-1}(x), \quad g(2)=k$$ 를 만족시킬 때, $g'(2)$ 의 값은? (단, $k$ 는 $0$ 이 아닌 상수이다.) ① $\dfrac{e}{5}$ ② $\dfrac{e}{3}$ ③ $e$ ④ $3e$ ⑤ $5e$ 더보기 정답 ②
그림과 같이 길이가 $1$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 에 대하여 점 $\mathrm{P}$ 를 $\angle \mathrm{PAB}=\theta$, $\angle \mathrm{PBA}=3\theta$ 가 되도록 잡고, 세 점 $\mathrm{A, \; B, \; P}$ 를 지나는 원을 $C$ 라 하자. 점 $\mathrm{B}$ 를 포함하지 않는 호 $\mathrm{AP}$ 를 이등분하는 점과 선분 $\mathrm{AP}$ 의 중점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 반지름의 길이를 $f(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{f(\theta)}{\theta}$ 의 값은? $\left (\text{단, } 0 < \theta < \dfrac{\..
$a, \; b$ 가 양수일 때, 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $$f(x)=axe^{-bx^2+b}$$ 과 $t> \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 인 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, \; f(t))$ 에서의 접선이 $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$, 원점 $\mathrm{O}$ 에서 이 접선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. $\angle \mathrm{HOQ} = g(t)$ 라 할 때, 함수 $g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{t \to \frac{\sqrt{3}}{3}+} g(t)=0$ (나) 함수 $g(t)$ 는 최댓값 $\dfrac{\pi}{4}$ 를 갖는다. $\dfrac{g'..